Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{2} + 7}{16 - x^{2}}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2} + 7$ dan $g (x) = 16 - x^{2}$ .

$\frac{(16 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7] - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 7$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{(16 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]) - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(16 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [7]) - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.3

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(16 - x^{2}) (2 x + 0) - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{(16 - x^{2}) (2 x) - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.4.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $16 - x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $16 - x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.6

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $16$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.7

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x - (x^{2} + 7) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.9

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x + 1 (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.9.2

Kalikan $x^{2} + 7$ dengan $1$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x + (x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x + (x^{2} + 7) (2 x)}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.11

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2} + 7$ .

$\frac{2 (16 - x^{2}) x + 2 \cdot (x^{2} + 7) x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 \cdot 16 + 2 (- x^{2})) x + 2 (x^{2} + 7) x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 \cdot 16 x + 2 (- x^{2}) x + 2 (x^{2} + 7) x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 \cdot 16 x + 2 (- x^{2}) x + (2 x^{2} + 2 \cdot 7) x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 \cdot 16 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Kalikan $2$ dengan $16$ .

$\frac{32 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{32 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{32 x + 2 (- (x^{1} x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{32 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5.1.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{32 x + 2 (- x^{3}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5.1.4

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.4.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5.1.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5.1.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5.1.4.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot 7 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5.1.5

Kalikan $2$ dengan $7$ .

$\frac{32 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 14 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5.2

Gabungkan suku balikan dalam $32 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 14 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Tambahkan $- 2 x^{3}$ dan $2 x^{3}$ .

$\frac{32 x + 0 + 14 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5.2.2

Tambahkan $32 x$ dan $0$ .

$\frac{32 x + 14 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5.3

Tambahkan $32 x$ dan $14 x$ .

$\frac{46 x}{{(16 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{46 x}{{(- x^{2} + 16)}^{2}}$

Langkah 3.7

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$\frac{46 x}{{(- x^{2} + 4^{2})}^{2}}$

Langkah 3.7.2

Susun kembali $- x^{2}$ dan $4^{2}$ .

$\frac{46 x}{{(4^{2} - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.7.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 4$ dan $b = x$ .

$\frac{46 x}{{((4 + x) (4 - x))}^{2}}$

Langkah 3.7.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $(4 + x) (4 - x)$ .

$\frac{46 x}{{(4 + x)}^{2} {(4 - x)}^{2}}$