Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{4 t}{3 \sqrt{t - 2}}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{t - 2}$ sebagai ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{4 t}{3 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 1.2

Karena $\frac{4}{3}$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $\frac{4 t}{3 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ terhadap $t$ adalah $\frac{4}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d t} [\frac{t}{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ adalah $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ di mana $f (t) = t$ dan $g (t) = {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(t - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3

Kalikan eksponen dalam ${({(t - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{{(t - 2)}^{1}}$

Langkah 4

Sederhanakan.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{t - 2}$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{t - 2}$

Langkah 5.2

Kalikan ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{\frac{1}{2}}]}{t - 2}$

Langkah 6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ dan $g (t) = t - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $t - 2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

Langkah 6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

Langkah 6.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $t - 2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

Langkah 7

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

Langkah 8

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

Langkah 9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

Langkah 10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

Langkah 10.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

Langkah 11

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} {(t - 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

Langkah 11.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(t - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{{(t - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

Langkah 11.3

Pindahkan ${(t - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t - 2])}{t - 2}$

Langkah 11.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $t$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t - 2]}{t - 2}$

Langkah 12

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t - 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{t - 2}$

Langkah 13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{t - 2}$

Langkah 14

Karena $- 2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 2$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{t - 2}$

Langkah 15

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{t - 2}$

Langkah 15.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

Langkah 16

Untuk menuliskan ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

Langkah 17

Gabungkan ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

Langkah 18

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

Langkah 19

Kalikan ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Pindahkan ${(t - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2}} {(t - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

Langkah 19.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

Langkah 19.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

Langkah 19.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

Langkah 19.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(t - 2)}^{1} \cdot 2 - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

Langkah 20

Sederhanakan ${(t - 2)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(t - 2) \cdot 2 - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

Langkah 21

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $t - 2$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{2 \cdot (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$

Langkah 22

Tulis kembali $\frac{\frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}}{t - 2}$ sebagai hasil kali.

$\frac{4}{3} (\frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{t - 2})$

Langkah 23

Kalikan $\frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{t - 2}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{1}{2}} (t - 2)}$

Langkah 24

Naikkan $t - 2$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2 (t - 2) - t}{2 ({(t - 2)}^{1} {(t - 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 25

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Langkah 26

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 26.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Langkah 26.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Langkah 26.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 27

Kalikan $\frac{4}{3}$ dengan $\frac{2 (t - 2) - t}{2 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{4 (2 (t - 2) - t)}{3 (2 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}})}$

Langkah 28

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{4 (2 (t - 2) - t)}{6 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 29

Faktorkan $2$ dari $4 (2 (t - 2) - t)$ .

$\frac{2 (2 (2 (t - 2) - t))}{6 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 30

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 30.1

Faktorkan $2$ dari $6 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (2 (2 (t - 2) - t))}{2 (3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}})}$

Langkah 30.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (2 (2 (t - 2) - t))}{2 (3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}})}$

Langkah 30.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 (2 (t - 2) - t)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 31

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 31.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (2 t + 2 \cdot - 2 - t)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 31.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (2 t) + 2 (2 \cdot - 2) + 2 (- t)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 31.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 31.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 31.3.1.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4 t + 2 (2 \cdot - 2) + 2 (- t)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 31.3.1.2

Kalikan $2 (2 \cdot - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 31.3.1.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{4 t + 2 \cdot - 4 + 2 (- t)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 31.3.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$\frac{4 t - 8 + 2 (- t)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 31.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{4 t - 8 - 2 t}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 31.3.2

Kurangi $2 t$ dengan $4 t$ .

$\frac{2 t - 8}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 31.4

Faktorkan $2$ dari $2 t - 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 31.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 t$ .

$\frac{2 (t) - 8}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 31.4.2

Faktorkan $2$ dari $- 8$ .

$\frac{2 t + 2 \cdot - 4}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 31.4.3

Faktorkan $2$ dari $2 t + 2 \cdot - 4$ .

$\frac{2 (t - 4)}{3 {(t - 2)}^{\frac{3}{2}}}$