Kalkulus Contoh

$f (x) = 4 x^{3} - 48 x$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{3} - 48 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 48$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 48 x$ terhadap $x$ adalah $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$12 x^{2} - 48 \cdot 1$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $- 48$ dengan $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 48$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $12 x^{2} - 48$ .

$12 x^{2} - 48$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $12 x^{2} - 48 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$12 x^{2} - 48 = 0$

Langkah 2.2

Tambahkan $48$ ke kedua sisi persamaan.

$12 x^{2} = 48$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $12 x^{2} = 48$ dengan $12$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $12 x^{2} = 48$ dengan $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{48}{12}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $48$ dengan $12$ .

$x^{2} = 4$

Langkah 2.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{4}$

Langkah 2.5

Sederhanakan $\pm \sqrt{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Langkah 2.5.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 2$

Langkah 2.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 2$

Langkah 2.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 2$

Langkah 2.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 2, - 2$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $2, - 2$ .

$2, - 2$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 3) = 12 {(- 3)}^{2} - 48$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 3) = 12 \cdot 9 - 48$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $9$ .

$f' (- 3) = 108 - 48$

Langkah 5.2.2

Kurangi $48$ dengan $108$ .

$f' (- 3) = 60$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $60$ .

$60$

Langkah 5.3

Pada $x = - 3$ , turunannya adalah $60$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - 2)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 2)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 2, 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f' (0) = 12 \cdot 0 - 48$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $0$ .

$f' (0) = 0 - 48$

Langkah 6.2.2

Kurangi $48$ dengan $0$ .

$f' (0) = - 48$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 48$ .

$- 48$

Langkah 6.3

Pada $x = 0$ , turunannya adalah $- 48$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 2, 2)$ .

Menurun pada $(- 2, 2)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(2, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = 12 {(3)}^{2} - 48$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (3) = 12 \cdot 9 - 48$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $9$ .

$f' (3) = 108 - 48$

Langkah 7.2.2

Kurangi $48$ dengan $108$ .

$f' (3) = 60$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $60$ .

$60$

Langkah 7.3

Pada $x = 3$ , turunannya adalah $60$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(2, \infty)$ .

Meningkat pada $(2, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

Menurun pada: $(- 2, 2)$

Langkah 9