Kalkulus Contoh

$f (x) = \ln (- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1)$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1]$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.4

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.5

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.7

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.8

Karena $189$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $189 x$ terhadap $x$ adalah $189 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.10

Kalikan $189$ dengan $1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.11

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189 + 0)$

Langkah 2.12

Tambahkan $- 3 x^{2} + 6 x + 189$ dan $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189)$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189)$ .

$(- 3 x^{2} + 6 x + 189) \frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Langkah 3.2

Kalikan $- 3 x^{2} + 6 x + 189$ dengan $\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 6 x + 189}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Langkah 3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 x^{2} + 6 x + 189$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 6 x + 189}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Langkah 3.3.1.2

Faktorkan $3$ dari $6 x$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 189}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Langkah 3.3.1.3

Faktorkan $3$ dari $189$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Langkah 3.3.1.4

Faktorkan $3$ dari $3 (- x^{2}) + 3 (2 x)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Langkah 3.3.1.5

Faktorkan $3$ dari $3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (63)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Langkah 3.3.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 1 \cdot 63 = - 63$ dan yang jumlahnya adalah $b = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 2 (x) + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Langkah 3.3.2.1.2

Tulis kembali $2$ sebagai $- 7$ ditambah $9$

$\frac{3 (- x^{2} + (- 7 + 9) x + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Langkah 3.3.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 (- x^{2} - 7 x + 9 x + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Langkah 3.3.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\frac{3 ((- x^{2} - 7 x) + 9 x + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Langkah 3.3.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\frac{3 (x (- x - 7) - 9 (- x - 7))}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Langkah 3.3.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- x - 7$ .

$\frac{3 ((- x - 7) (x - 9))}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

$\frac{3 (- x - 7) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Langkah 3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{3 (- (x) - 7) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Langkah 3.5

Tulis kembali $- 7$ sebagai $- 1 (7)$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (7)) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Langkah 3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (7)$ .

$\frac{3 (- (x + 7)) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Langkah 3.7

Tulis kembali $- (x + 7)$ sebagai $- 1 (x + 7)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Langkah 3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{3}$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3}) + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

Langkah 3.9

Faktorkan $- 1$ dari $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3}) - (- 3 x^{2}) + 189 x + 1}$

Langkah 3.10

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{3}) - (- 3 x^{2})$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2}) + 189 x + 1}$

Langkah 3.11

Faktorkan $- 1$ dari $189 x$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 189 x) + 1}$

Langkah 3.12

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 189 x)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x) + 1}$

Langkah 3.13

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x) - 1 (- 1)}$

Langkah 3.14

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)}$

Langkah 3.15

Tulis kembali $- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)$ sebagai $- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)}$

Langkah 3.16

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)}$

Langkah 3.17

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 (x + 7) (x - 9)}{x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1}$