Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = \frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$

Langkah 3.2

Sederhanakan $\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{y + 1}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 = x$

Langkah 3.2.2

Untuk menuliskan $- 2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} = x$

Langkah 3.2.3

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} = x$

Langkah 3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{e^{y + 1} - 2 \cdot 2}{2} = x$

Langkah 3.2.5

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$\frac{e^{y + 1} - 4}{2} = x$

Langkah 3.3

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

Langkah 3.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

Langkah 3.4.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{y + 1} - 4 = 2 x$

Langkah 3.5

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$e^{y + 1} = 2 x + 4$

Langkah 3.6

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{y + 1}) = \ln (2 x + 4)$

Langkah 3.7

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Perluas $\ln (e^{y + 1})$ dengan memindahkan $y + 1$ ke luar logaritma.

$(y + 1) \ln (e) = \ln (2 x + 4)$

Langkah 3.7.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$(y + 1) \cdot 1 = \ln (2 x + 4)$

Langkah 3.7.3

Kalikan $y + 1$ dengan $1$ .

$y + 1 = \ln (2 x + 4)$

Langkah 3.8

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = \ln (2 x + 4) - 1$

Langkah 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) + 4) - 1$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2) + 4) - 1$

Langkah 5.2.3.1.2

Untuk menuliskan $- 2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 4) - 1$

Langkah 5.2.3.1.3

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

Langkah 5.2.3.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

Langkah 5.2.3.1.5

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

Langkah 5.2.3.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

Langkah 5.2.3.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} - 4 + 4) - 1$

Langkah 5.2.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $e^{x + 1} - 4 + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1

Tambahkan $- 4$ dan $4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} + 0) - 1$

Langkah 5.2.3.2.2

Tambahkan $e^{x + 1}$ dan $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1}) - 1$

Langkah 5.2.3.3

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $x + 1$ keluar dari eksponen.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \ln (e) - 1$

Langkah 5.2.3.4

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \cdot 1 - 1$

Langkah 5.2.3.5

Kalikan $x + 1$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 1 - 1$

Langkah 5.2.4

Gabungkan suku balikan dalam $x + 1 - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 0$

Langkah 5.2.4.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (\ln (2 x + 4) - 1)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$

Langkah 5.3.3

Gabungkan suku balikan dalam $\frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4) + 0} - 2$

Langkah 5.3.3.2

Tambahkan $\ln (2 x + 4)$ dan $0$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4)} - 2$

Langkah 5.3.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 4) - 2$

Langkah 5.3.4.2

Terapkan sifat distributif.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Langkah 5.3.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.3.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Langkah 5.3.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Langkah 5.3.4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

Langkah 5.3.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) - 2$

Langkah 5.3.4.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 2$

Langkah 5.3.4.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 2 - 2$

Langkah 5.3.5

Gabungkan suku balikan dalam $x + 2 - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.1

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 0$

Langkah 5.3.5.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$