Kalkulus Contoh

$x^{4} - 2 x^{2}$

Langkah 1

Tulis $x^{4} - 2 x^{2}$ sebagai fungsi.

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} - 2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 x^{3} - 2 (2 x)$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$4 x^{3} - 4 x$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{3} - 4 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Langkah 3.2.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Langkah 3.3.3

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$4 x^{3} - 4 x = 0$

Langkah 5

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} - 2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Langkah 5.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Langkah 5.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 5.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 x^{3} - 2 (2 x)$

Langkah 5.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Langkah 5.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $4 x^{3} - 4 x$ .

$4 x^{3} - 4 x$

Langkah 6

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $4 x^{3} - 4 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$4 x^{3} - 4 x = 0$

Langkah 6.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Faktorkan $4 x$ dari $4 x^{3} - 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Faktorkan $4 x$ dari $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 4 x = 0$

Langkah 6.2.1.2

Faktorkan $4 x$ dari $- 4 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 1) = 0$

Langkah 6.2.1.3

Faktorkan $4 x$ dari $4 x (x^{2}) + 4 x (- 1)$ .

$4 x (x^{2} - 1) = 0$

Langkah 6.2.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Langkah 6.2.3

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Langkah 6.2.3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Langkah 6.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 6.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 6.5

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 6.5.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 6.6

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 6.6.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 6.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ benar.

$x = 0, - 1, 1$

Langkah 7

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 8

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0, - 1, 1$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$12 {(0)}^{2} - 4$

Langkah 10

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$12 \cdot 0 - 4$

Langkah 10.1.2

Kalikan $12$ dengan $0$ .

$0 - 4$

Langkah 10.2

Kurangi $4$ dengan $0$ .

$- 4$

Langkah 11

$x = 0$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah maksimum lokal

Langkah 12

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2}$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{2}$

Langkah 12.2.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0$

Langkah 12.2.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Langkah 12.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0$

Langkah 12.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$y = 0$

Langkah 13

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 1$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$12 {(- 1)}^{2} - 4$

Langkah 14

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$12 \cdot 1 - 4$

Langkah 14.1.2

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$12 - 4$

Langkah 14.2

Kurangi $4$ dengan $12$ .

$8$

Langkah 15

$x = - 1$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - 1$ adalah minimum lokal

Langkah 16

Tentukan nilai y ketika $x = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{2}$

Langkah 16.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- 1) = 1 - 2 {(- 1)}^{2}$

Langkah 16.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 1) = 1 - 2 \cdot 1$

Langkah 16.2.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f (- 1) = 1 - 2$

Langkah 16.2.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f (- 1) = - 1$

Langkah 16.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$y = - 1$

Langkah 17

Evaluasi turunan kedua pada $x = 1$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$12 {(1)}^{2} - 4$

Langkah 18

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$12 \cdot 1 - 4$

Langkah 18.1.2

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$12 - 4$

Langkah 18.2

Kurangi $4$ dengan $12$ .

$8$

Langkah 19

$x = 1$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 1$ adalah minimum lokal

Langkah 20

Tentukan nilai y ketika $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = {(1)}^{4} - 2 {(1)}^{2}$

Langkah 20.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = 1 - 2 {(1)}^{2}$

Langkah 20.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = 1 - 2 \cdot 1$

Langkah 20.2.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f (1) = 1 - 2$

Langkah 20.2.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f (1) = - 1$

Langkah 20.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$y = - 1$

Langkah 21

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ .

$(0, 0)$ adalah maksimum lokal

$(- 1, - 1)$ adalah minimum lokal

$(1, - 1)$ adalah minimum lokal

Langkah 22