Kalkulus Contoh

$\frac{\sqrt[3]{8 + h} - 2}{h}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{8 + h}$ sebagai ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d h} [\frac{{(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2}{h}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d h} [\frac{f (h)}{g (h)}]$ adalah $\frac{g (h) \frac{d}{d h} [f (h)] - f (h) \frac{d}{d h} [g (h)]}{{g (h)}^{2}}$ di mana $f (h) = {(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2$ dan $g (h) = h$ .

$\frac{h \frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2] - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Langkah 3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- 2]$ .

$\frac{h (\frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ adalah $f' (g (h)) g' (h)$ di mana $f (h) = h^{\frac{1}{3}}$ dan $g (h) = 8 + h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $8 + h$ .

$\frac{h (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{h (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Langkah 4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $8 + h$ .

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Langkah 5

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Langkah 6

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Langkah 7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Langkah 8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Langkah 8.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Langkah 9

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Langkah 9.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan ${(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{h (\frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Langkah 9.3

Pindahkan ${(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Langkah 10

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 + h$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Langkah 11

Karena $8$ konstan terhadap $h$ , turunan dari $8$ terhadap $h$ adalah $0$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Langkah 12

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Langkah 13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ adalah $n h^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Langkah 14

Kalikan $\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ dengan $1$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Langkah 15

Karena $- 2$ konstan terhadap $h$ , turunan dari $- 2$ terhadap $h$ adalah $0$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + 0) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Langkah 16

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Tambahkan $\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ dan $0$ .

$\frac{h \frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Langkah 16.2

Gabungkan $h$ dan $\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{h}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Langkah 17

Kalikan $\frac{\frac{h}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$ dengan $\frac{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\frac{h}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

Langkah 18

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Gabungkan.

$\frac{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} (\frac{h}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h])}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Langkah 18.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \frac{h}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} (- ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h])}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Langkah 18.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \frac{h}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} (- ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h])}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Langkah 18.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{h + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} (- ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h])}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Langkah 18.4

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} (({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h])}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Langkah 19

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ adalah $n h^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} (({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \cdot 1)}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Langkah 20

Kalikan ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2$ dengan $1$ .

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2)}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Langkah 21

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} {(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Langkah 21.1.2

Kalikan ${(8 + h)}^{\frac{2}{3}}$ dengan ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1.2.1

Pindahkan ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{h - 3 ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Langkah 21.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Langkah 21.1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{1 + 2}{3}} - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Langkah 21.1.2.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{3}{3}} - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Langkah 21.1.2.5

Bagilah $3$ dengan $3$ .

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{1} - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Langkah 21.1.3

Sederhanakan $- 3 {(8 + h)}^{1}$ .

$\frac{h - 3 (8 + h) - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Langkah 21.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $- 3$ .

$\frac{h - 3 (8 + h) + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Langkah 21.1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{h - 3 \cdot 8 - 3 h + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Langkah 21.1.5.2

Kalikan $- 3$ dengan $8$ .

$\frac{h - 24 - 3 h + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Langkah 21.1.6

Kurangi $3 h$ dengan $h$ .

$\frac{- 2 h - 24 + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Langkah 21.1.7

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- 2 h + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} - 24}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Langkah 21.1.8

Faktorkan $2$ dari $- 2 h + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} - 24$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1.8.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 h$ .

$\frac{2 (- h) + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} - 24}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Langkah 21.1.8.2

Faktorkan $2$ dari $6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 (- h) + 2 (3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) - 24}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Langkah 21.1.8.3

Faktorkan $2$ dari $- 24$ .

$\frac{2 (- h) + 2 (3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) + 2 (- 12)}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Langkah 21.1.8.4

Faktorkan $2$ dari $2 (- h) + 2 (3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}})$ .

$\frac{2 (- h + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) + 2 (- 12)}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Langkah 21.1.8.5

Faktorkan $2$ dari $2 (- h + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) + 2 (- 12)$ .

$\frac{2 (- h + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} - 12)}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

Langkah 21.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{2 (- h + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} - 12)}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21.3

Faktorkan $- 1$ dari $- h$ .

$\frac{2 (- (h) + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} - 12)}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21.4

Faktorkan $- 1$ dari $3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 (- (h) - (- 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) - 12)}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (h) - (- 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}})$ .

$\frac{2 (- (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) - 12)}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21.6

Tulis kembali $- 12$ sebagai $- 1 (12)$ .

$\frac{2 (- (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) - 1 (12))}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21.7

Faktorkan $- 1$ dari $- (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) - 1 (12)$ .

$\frac{2 (- (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} + 12))}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21.8

Tulis kembali $- (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} + 12)$ sebagai $- 1 (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} + 12)$ .

$\frac{2 (- 1 (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} + 12))}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2 (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} + 12)}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$