Kalkulus Contoh

${(\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}})}^{2}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d n} [f (g (n))]$ adalah $f' (g (n)) g' (n)$ di mana $f (n) = n^{2}$ dan $g (n) = \frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ .

$2 \frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ .

$\frac{2 n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Langkah 2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{n (n + 1)}{n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}]$

Langkah 2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $n$ , turunan dari $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ terhadap $n$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{n^{4}}]$ .

$\frac{n (n + 1)}{n^{4}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{n^{4}}])$

Langkah 2.4

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{n (n + 1)}{n^{4}}$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \frac{d}{d n} [\frac{n (n + 1)}{n^{4}}]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ adalah $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ di mana $f (n) = n (n + 1)$ dan $g (n) = n^{4}$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) \frac{d}{d n} [n^{4}]}{{(n^{4})}^{2}}$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan eksponen dalam ${(n^{4})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) \frac{d}{d n} [n^{4}]}{n^{4 \cdot 2}}$

Langkah 4.1.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) \frac{d}{d n} [n^{4}]}{n^{8}}$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ adalah $n \cdot n^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - n (n + 1) (4 n^{3})}{n^{8}}$

Langkah 4.3

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1) n^{3}}{n^{8}}$

Langkah 4.3.2

Faktorkan $n^{3}$ dari $n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1) n^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $n^{3}$ dari $n^{4} \frac{d}{d n} [n (n + 1)]$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)]) - 4 n (n + 1) n^{3}}{n^{8}}$

Langkah 4.3.2.2

Faktorkan $n^{3}$ dari $- 4 n (n + 1) n^{3}$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)]) + n^{3} (- 4 n (n + 1))}{n^{8}}$

Langkah 4.3.2.3

Faktorkan $n^{3}$ dari $n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)]) + n^{3} (- 4 n (n + 1))$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{n^{8}}$

Langkah 5

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Faktorkan $n^{3}$ dari $n^{8}$ .

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{n^{3} n^{5}}$

Langkah 5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n^{3} (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{n^{3} n^{5}}$

Langkah 5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}} \cdot \frac{n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1)}{n^{5}}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $\frac{n (n + 1)}{2 n^{4}}$ dengan $\frac{n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1)}{n^{5}}$ .

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 n^{4} n^{5}}$

Langkah 6.2

Kalikan $n^{4}$ dengan $n^{5}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Pindahkan $n^{5}$ .

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 (n^{5} n^{4})}$

Langkah 6.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 n^{5 + 4}}$

Langkah 6.2.3

Tambahkan $5$ dan $4$ .

$\frac{n (n + 1) (n \frac{d}{d n} [n (n + 1)] - 4 n (n + 1))}{2 n^{9}}$