Kalkulus Contoh

$P (r) = \frac{5 (3 r + 1)}{r^{2} + r + 2}$

Langkah 1

Karena $5$ konstan terhadap $r$ , turunan dari $\frac{5 (3 r + 1)}{r^{2} + r + 2}$ terhadap $r$ adalah $5 \frac{d}{d r} [\frac{3 r + 1}{r^{2} + r + 2}]$ .

$5 \frac{d}{d r} [\frac{3 r + 1}{r^{2} + r + 2}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ adalah $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ di mana $f (r) = 3 r + 1$ dan $g (r) = r^{2} + r + 2$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) \frac{d}{d r} [3 r + 1] - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 r + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d r} [3 r] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (\frac{d}{d r} [3 r] + \frac{d}{d r} [1]) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 3.2

Karena $3$ konstan terhadap $r$ , turunan dari $3 r$ terhadap $r$ adalah $3 \frac{d}{d r} [r]$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (3 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [1]) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ adalah $n r^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [1]) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 3.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (3 + \frac{d}{d r} [1]) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 3.5

Karena $1$ konstan terhadap $r$ , turunan dari $1$ terhadap $r$ adalah $0$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (3 + 0) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) \cdot 3 - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 3.6.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $r^{2} + r + 2$ .

$5 \frac{3 \cdot (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 3.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $r^{2} + r + 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2]$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2])}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ adalah $n r^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2])}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 3.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ adalah $n r^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1 + \frac{d}{d r} [2])}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 3.10

Karena $2$ konstan terhadap $r$ , turunan dari $2$ terhadap $r$ adalah $0$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1 + 0)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 3.11

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Tambahkan $2 r + 1$ dan $0$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 3.11.2

Gabungkan $5$ dan $\frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$ .

$\frac{5 (3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{5 (3 r^{2} + 3 r + 3 \cdot 2 - (3 r + 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{5 (3 r^{2} + 3 r + 3 \cdot 2 + (- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{5 (3 r^{2}) + 5 (3 r) + 5 (3 \cdot 2) + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1.1

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$\frac{15 r^{2} + 5 (3 r) + 5 (3 \cdot 2) + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.1.2

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 5 (3 \cdot 2) + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.1.3

Kalikan $5 (3 \cdot 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1.3.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 5 \cdot 6 + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.1.3.2

Kalikan $5$ dengan $6$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.1.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1.4.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 ((- 3 r - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.1.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 ((- 3 r - 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.1.5

Perluas $(- 3 r - 1) (2 r + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 r (2 r + 1) - 1 (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.1.5.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 r (2 r) - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.1.5.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 r (2 r) - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.1.6

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1.6.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 \cdot 2 r \cdot r - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.1.6.1.2

Kalikan $r$ dengan $r$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1.6.1.2.1

Pindahkan $r$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 \cdot 2 (r \cdot r) - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.1.6.1.2.2

Kalikan $r$ dengan $r$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 \cdot 2 r^{2} - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.1.6.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.1.6.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 3 r - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.1.6.1.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 3 r - 2 r - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.1.6.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 3 r - 2 r - 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.1.6.2

Kurangi $2 r$ dengan $- 3 r$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 5 r - 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.1.7

Terapkan sifat distributif.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2}) + 5 (- 5 r) + 5 \cdot - 1}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1.8.1

Kalikan $- 6$ dengan $5$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 - 30 r^{2} + 5 (- 5 r) + 5 \cdot - 1}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.1.8.2

Kalikan $- 5$ dengan $5$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 - 30 r^{2} - 25 r + 5 \cdot - 1}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.1.8.3

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 - 30 r^{2} - 25 r - 5}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.2

Kurangi $30 r^{2}$ dengan $15 r^{2}$ .

$\frac{- 15 r^{2} + 15 r + 30 - 25 r - 5}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.3

Kurangi $25 r$ dengan $15 r$ .

$\frac{- 15 r^{2} - 10 r + 30 - 5}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4.4

Kurangi $5$ dengan $30$ .

$\frac{- 15 r^{2} - 10 r + 25}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Faktorkan $5$ dari $- 15 r^{2} - 10 r + 25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1.1

Faktorkan $5$ dari $- 15 r^{2}$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2}) - 10 r + 25}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.5.1.2

Faktorkan $5$ dari $- 10 r$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2}) + 5 (- 2 r) + 25}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.5.1.3

Faktorkan $5$ dari $25$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2}) + 5 (- 2 r) + 5 (5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.5.1.4

Faktorkan $5$ dari $5 (- 3 r^{2}) + 5 (- 2 r)$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2} - 2 r) + 5 (5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.5.1.5

Faktorkan $5$ dari $5 (- 3 r^{2} - 2 r) + 5 (5)$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2} - 2 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.5.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 3 \cdot 5 = - 15$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1.1

Faktorkan $- 2$ dari $- 2 r$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2} - 2 (r) + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.5.2.1.2

Tulis kembali $- 2$ sebagai $3$ ditambah $- 5$

$\frac{5 (- 3 r^{2} + (3 - 5) r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.5.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{5 (- 3 r^{2} + 3 r - 5 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.5.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\frac{5 ((- 3 r^{2} + 3 r) - 5 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.5.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\frac{5 (3 r (- r + 1) + 5 (- r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.5.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- r + 1$ .

$\frac{5 ((- r + 1) (3 r + 5))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

$\frac{5 (- r + 1) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.6

Faktorkan $- 1$ dari $- r$ .

$\frac{5 (- (r) + 1) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.7

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{5 (- (r) - 1 (- 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (r) - 1 (- 1)$ .

$\frac{5 (- (r - 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.9

Tulis kembali $- (r - 1)$ sebagai $- 1 (r - 1)$ .

$\frac{5 (- 1 (r - 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{(5 (r - 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

Langkah 4.11

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{(5 (r - 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$ .

$- \frac{5 (r - 1) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$