Kalkulus Contoh

$\frac{t^{2} + 1}{t^{4} - 3 t^{2} + 4}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ adalah $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ di mana $f (t) = t^{2} + 1$ dan $g (t) = t^{4} - 3 t^{2} + 4$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1] - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) (2 t + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 2.3

Karena $1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) (2 t + 0) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tambahkan $2 t$ dan $0$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) (2 t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 2.4.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $t^{4} - 3 t^{2} + 4$ .

$\frac{2 \cdot (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t^{4} - 3 t^{2} + 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 2.7

Karena $- 3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 3 t^{2}$ terhadap $t$ adalah $- 3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 3 (2 t) + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 2.9

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 2.10

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $4$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t + 0)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 2.11

Tambahkan $4 t^{3} - 6 t$ dan $0$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 t^{4} + 2 (- 3 t^{2}) + 2 \cdot 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 t^{4} t + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 t^{4} t + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Kalikan $t^{4}$ dengan $t$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.1

Pindahkan $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{4}) + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.1.2

Kalikan $t$ dengan $t^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.2.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{4}) + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 t^{1 + 4} + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.1.3

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.2

Kalikan $t^{2}$ dengan $t$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.2.1

Pindahkan $t$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 (t \cdot t^{2})) + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.2.2

Kalikan $t$ dengan $t^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.2.2.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 (t^{1} t^{2})) + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 t^{1 + 2}) + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 t^{3}) + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.4

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t + (- t^{2} - 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.6

Perluas $(- t^{2} - 1) (4 t^{3} - 6 t)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - t^{2} (4 t^{3} - 6 t) - 1 (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - t^{2} (4 t^{3}) - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.6.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - t^{2} (4 t^{3}) - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.7

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.7.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 1 \cdot 4 t^{2} t^{3} - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.7.1.2

Kalikan $t^{2}$ dengan $t^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.7.1.2.1

Pindahkan $t^{3}$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 1 \cdot 4 (t^{3} t^{2}) - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.7.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 1 \cdot 4 t^{3 + 2} - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.7.1.2.3

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 1 \cdot 4 t^{5} - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.7.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.7.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 t^{2} t - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.7.1.5

Kalikan $t^{2}$ dengan $t$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.7.1.5.1

Pindahkan $t$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 (t \cdot t^{2}) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.7.1.5.2

Kalikan $t$ dengan $t^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.7.1.5.2.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 (t^{1} t^{2}) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.7.1.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 t^{1 + 2} - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.7.1.5.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 t^{3} - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.7.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 6$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} + 6 t^{3} - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.7.1.7

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} + 6 t^{3} - 4 t^{3} - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.7.1.8

Kalikan $- 6$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} + 6 t^{3} - 4 t^{3} + 6 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.7.2

Kurangi $4 t^{3}$ dengan $6 t^{3}$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} + 2 t^{3} + 6 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.2

Kurangi $4 t^{5}$ dengan $2 t^{5}$ .

$\frac{- 2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t + 2 t^{3} + 6 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.3

Tambahkan $- 6 t^{3}$ dan $2 t^{3}$ .

$\frac{- 2 t^{5} - 4 t^{3} + 8 t + 6 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.4.4

Tambahkan $8 t$ dan $6 t$ .

$\frac{- 2 t^{5} - 4 t^{3} + 14 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.5

Faktorkan $2 t$ dari $- 2 t^{5} - 4 t^{3} + 14 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Faktorkan $2 t$ dari $- 2 t^{5}$ .

$\frac{2 t (- t^{4}) - 4 t^{3} + 14 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.5.2

Faktorkan $2 t$ dari $- 4 t^{3}$ .

$\frac{2 t (- t^{4}) + 2 t (- 2 t^{2}) + 14 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.5.3

Faktorkan $2 t$ dari $14 t$ .

$\frac{2 t (- t^{4}) + 2 t (- 2 t^{2}) + 2 t (7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.5.4

Faktorkan $2 t$ dari $2 t (- t^{4}) + 2 t (- 2 t^{2})$ .

$\frac{2 t (- t^{4} - 2 t^{2}) + 2 t (7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.5.5

Faktorkan $2 t$ dari $2 t (- t^{4} - 2 t^{2}) + 2 t (7)$ .

$\frac{2 t (- t^{4} - 2 t^{2} + 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- t^{4}$ .

$\frac{2 t (- (t^{4}) - 2 t^{2} + 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 t^{2}$ .

$\frac{2 t (- (t^{4}) - (2 t^{2}) + 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (t^{4}) - (2 t^{2})$ .

$\frac{2 t (- (t^{4} + 2 t^{2}) + 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.9

Tulis kembali $7$ sebagai $- 1 (- 7)$ .

$\frac{2 t (- (t^{4} + 2 t^{2}) - 1 (- 7))}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.10

Faktorkan $- 1$ dari $- (t^{4} + 2 t^{2}) - 1 (- 7)$ .

$\frac{2 t (- (t^{4} + 2 t^{2} - 7))}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.11

Tulis kembali $- (t^{4} + 2 t^{2} - 7)$ sebagai $- 1 (t^{4} + 2 t^{2} - 7)$ .

$\frac{2 t (- 1 (t^{4} + 2 t^{2} - 7))}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{(2 t) (t^{4} + 2 t^{2} - 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

Langkah 3.13

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{(2 t) (t^{4} + 2 t^{2} - 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$ .

$- \frac{2 t (t^{4} + 2 t^{2} - 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$