Kalkulus Contoh

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ adalah $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ di mana $f (t) = 10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}$ dan $g (t) = 6000 + 500 t + 10 t^{2}$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) \frac{d}{d t} [6000 + 500 t + 10 t^{2}] + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6000 + 500 t + 10 t^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [6000] + \frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (\frac{d}{d t} [6000] + \frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

Langkah 2.2

Karena $6000$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $6000$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (0 + \frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

Langkah 2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d t} [500 t]$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (\frac{d}{d t} [500 t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

Langkah 2.4

Karena $500$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $500 t$ terhadap $t$ adalah $500 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

Langkah 2.6

Kalikan $500$ dengan $1$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + \frac{d}{d t} [10 t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

Langkah 2.7

Karena $10$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $10 t^{2}$ terhadap $t$ adalah $10 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 10 \frac{d}{d t} [t^{2}]) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 10 (2 t)) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

Langkah 2.9

Kalikan $2$ dengan $10$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) \frac{d}{d t} [10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}]$

Langkah 2.10

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [0.2 t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}]$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [0.2 t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

Langkah 2.11

Karena $10$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $10$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0 + \frac{d}{d t} [0.2 t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

Langkah 2.12

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d t} [0.2 t]$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (\frac{d}{d t} [0.2 t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

Langkah 2.13

Karena $0.2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $0.2 t$ terhadap $t$ adalah $0.2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

Langkah 2.14

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

Langkah 2.15

Kalikan $0.2$ dengan $1$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + \frac{d}{d t} [0.01 t^{2}])$

Langkah 2.16

Karena $0.01$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $0.01 t^{2}$ terhadap $t$ adalah $0.01 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.01 \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Langkah 2.17

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.01 (2 t))$

Langkah 2.18

Kalikan $2$ dengan $0.01$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $1$ dari $(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $1$ dari $(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)$ .

$1 ((10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $1$ dari $(6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$ .

$1 ((10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)) + 1 ((6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t))$

Langkah 3.1.3

Faktorkan $1$ dari $1 ((10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)) + 1 ((6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t))$ .

$1 ((10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t))$

Langkah 3.2

Kalikan $(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$ dengan $1$ .

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (6000 + 500 t + 10 t^{2}) (0.2 + 0.02 t)$

Langkah 3.3

Susun kembali suku-suku.

$(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Langkah 3.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Perluas $(10 + 0.2 t + 0.01 t^{2}) (500 + 20 t)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$10 \cdot 500 + 10 (20 t) + 0.2 t \cdot 500 + 0.2 t (20 t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Kalikan $10$ dengan $500$ .

$5000 + 10 (20 t) + 0.2 t \cdot 500 + 0.2 t (20 t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Langkah 3.4.2.2

Kalikan $20$ dengan $10$ .

$5000 + 200 t + 0.2 t \cdot 500 + 0.2 t (20 t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Langkah 3.4.2.3

Kalikan $500$ dengan $0.2$ .

$5000 + 200 t + 100 t + 0.2 t (20 t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Langkah 3.4.2.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$5000 + 200 t + 100 t + 0.2 \cdot 20 t \cdot t + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Langkah 3.4.2.5

Kalikan $t$ dengan $t$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.5.1

Pindahkan $t$ .

$5000 + 200 t + 100 t + 0.2 \cdot 20 (t \cdot t) + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Langkah 3.4.2.5.2

Kalikan $t$ dengan $t$ .

$5000 + 200 t + 100 t + 0.2 \cdot 20 t^{2} + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Langkah 3.4.2.6

Kalikan $0.2$ dengan $20$ .

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 0.01 t^{2} \cdot 500 + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Langkah 3.4.2.7

Kalikan $500$ dengan $0.01$ .

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 t^{2} (20 t) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Langkah 3.4.2.8

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 t^{2} t + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Langkah 3.4.2.9

Kalikan $t^{2}$ dengan $t$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.9.1

Pindahkan $t$ .

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 (t \cdot t^{2}) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Langkah 3.4.2.9.2

Kalikan $t$ dengan $t^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.9.2.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 (t^{1} t^{2}) + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Langkah 3.4.2.9.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 t^{1 + 2} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Langkah 3.4.2.9.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.01 \cdot 20 t^{3} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Langkah 3.4.2.10

Kalikan $0.01$ dengan $20$ .

$5000 + 200 t + 100 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.2 t^{3} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Langkah 3.4.3

Tambahkan $200 t$ dan $100 t$ .

$5000 + 300 t + 4 t^{2} + 5 t^{2} + 0.2 t^{3} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Langkah 3.4.4

Tambahkan $4 t^{2}$ dan $5 t^{2}$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + (0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$

Langkah 3.4.5

Perluas $(0.2 + 0.02 t) (6000 + 500 t + 10 t^{2})$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 0.2 \cdot 6000 + 0.2 (500 t) + 0.2 (10 t^{2}) + 0.02 t \cdot 6000 + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

Langkah 3.4.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1

Kalikan $0.2$ dengan $6000$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 0.2 (500 t) + 0.2 (10 t^{2}) + 0.02 t \cdot 6000 + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

Langkah 3.4.6.2

Kalikan $500$ dengan $0.2$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 0.2 (10 t^{2}) + 0.02 t \cdot 6000 + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

Langkah 3.4.6.3

Kalikan $10$ dengan $0.2$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 0.02 t \cdot 6000 + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

Langkah 3.4.6.4

Kalikan $6000$ dengan $0.02$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 0.02 t (500 t) + 0.02 t (10 t^{2})$

Langkah 3.4.6.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 0.02 \cdot 500 t \cdot t + 0.02 t (10 t^{2})$

Langkah 3.4.6.6

Kalikan $t$ dengan $t$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.6.1

Pindahkan $t$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 0.02 \cdot 500 (t \cdot t) + 0.02 t (10 t^{2})$

Langkah 3.4.6.6.2

Kalikan $t$ dengan $t$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 0.02 \cdot 500 t^{2} + 0.02 t (10 t^{2})$

Langkah 3.4.6.7

Kalikan $0.02$ dengan $500$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 t (10 t^{2})$

Langkah 3.4.6.8

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 t \cdot t^{2}$

Langkah 3.4.6.9

Kalikan $t$ dengan $t^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.9.1

Pindahkan $t^{2}$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 (t^{2} t)$

Langkah 3.4.6.9.2

Kalikan $t^{2}$ dengan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.9.2.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 (t^{2} t^{1})$

Langkah 3.4.6.9.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 t^{2 + 1}$

Langkah 3.4.6.9.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.02 \cdot 10 t^{3}$

Langkah 3.4.6.10

Kalikan $0.02$ dengan $10$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 100 t + 2 t^{2} + 120 t + 10 t^{2} + 0.2 t^{3}$

Langkah 3.4.7

Tambahkan $100 t$ dan $120 t$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 2 t^{2} + 220 t + 10 t^{2} + 0.2 t^{3}$

Langkah 3.4.8

Tambahkan $2 t^{2}$ dan $10 t^{2}$ .

$5000 + 300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 1200 + 12 t^{2} + 220 t + 0.2 t^{3}$

Langkah 3.5

Tambahkan $5000$ dan $1200$ .

$300 t + 9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 6200 + 12 t^{2} + 220 t + 0.2 t^{3}$

Langkah 3.6

Tambahkan $300 t$ dan $220 t$ .

$9 t^{2} + 0.2 t^{3} + 6200 + 12 t^{2} + 520 t + 0.2 t^{3}$

Langkah 3.7

Tambahkan $9 t^{2}$ dan $12 t^{2}$ .

$21 t^{2} + 0.2 t^{3} + 6200 + 520 t + 0.2 t^{3}$

Langkah 3.8

Tambahkan $0.2 t^{3}$ dan $0.2 t^{3}$ .

$21 t^{2} + 0.4 t^{3} + 6200 + 520 t$