Kalkulus Contoh

${(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{3}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = t^{3}$ dan $g (t) = \frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d t} [\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ .

$3 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{d}{d t} [\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $5$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ terhadap $t$ adalah $5 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$ .

$3 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} (5 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{3 t^{2} + 2}])$

Langkah 2.2

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ adalah $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ di mana $f (t) = t^{2}$ dan $g (t) = 3 t^{2} + 2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{(3 t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 2]}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{(3 t^{2} + 2) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 2]}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 4.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $3 t^{2} + 2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 \cdot (3 t^{2} + 2) t - t^{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 2]}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 4.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 t^{2} + 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [2])}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 4.4

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3 t^{2}$ terhadap $t$ adalah $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [2])}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 4.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [2])}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 4.6

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (6 t + \frac{d}{d t} [2])}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 4.7

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 4.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Tambahkan $6 t$ dan $0$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (6 t)}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 4.8.2

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{2} t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 5

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 (t^{1} t^{2})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{1 + 2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 7

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 8

Gabungkan $\frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$ dan $15$ .

$\frac{(2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3}) \cdot 15}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2}$

Langkah 9

Pindahkan $15$ ke sebelah kiri $2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3}$ .

$\frac{15 \cdot (2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2}$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ .

$\frac{15 (2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(5 t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 10.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $5 t^{2}$ .

$\frac{15 (2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 10.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{15 ((2 (3 t^{2}) + 2 \cdot 2) t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 10.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{15 (2 (3 t^{2}) t + 2 \cdot 2 t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 10.5

Terapkan sifat distributif.

$\frac{15 (2 (3 t^{2}) t) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 10.6

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.6.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{15 (6 t^{2} t) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 10.6.2

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{15 (6 (t^{1} t^{2})) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 10.6.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{15 (6 t^{1 + 2}) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 10.6.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{15 (6 t^{3}) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 10.6.5

Kalikan $6$ dengan $15$ .

$\frac{90 t^{3} + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 10.6.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{90 t^{3} + 15 (4 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 10.6.7

Kalikan $4$ dengan $15$ .

$\frac{90 t^{3} + 60 t + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 10.6.8

Kalikan $- 6$ dengan $15$ .

$\frac{90 t^{3} + 60 t - 90 t^{3}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 10.6.9

Kurangi $90 t^{3}$ dengan $90 t^{3}$ .

$\frac{60 t + 0}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 10.6.10

Tambahkan $60 t$ dan $0$ .

$\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 10.6.11

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{25 {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 10.6.12

Kalikan eksponen dalam ${(t^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.6.12.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{25 t^{2 \cdot 2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 10.6.12.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{25 t^{4}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 10.6.13

Kalikan $\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$ dengan $\frac{25 t^{4}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{60 t (25 t^{4})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 10.6.14

Kalikan $25$ dengan $60$ .

$\frac{1500 t \cdot t^{4}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 10.6.15

Kalikan $t$ dengan $t^{4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.6.15.1

Pindahkan $t^{4}$ .

$\frac{1500 (t^{4} t)}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 10.6.15.2

Kalikan $t^{4}$ dengan $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.6.15.2.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1500 (t^{4} t^{1})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 10.6.15.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1500 t^{4 + 1}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 10.6.15.3

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$\frac{1500 t^{5}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

Langkah 10.6.16

Kalikan ${(3 t^{2} + 2)}^{2}$ dengan ${(3 t^{2} + 2)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.6.16.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1500 t^{5}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2 + 2}}$

Langkah 10.6.16.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{1500 t^{5}}{{(3 t^{2} + 2)}^{4}}$