Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{\sin (π (x - 1))} + \sqrt{4 - x^{2}}$

Langkah 1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{\sin (π (x - 1))}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$\sin (π (x - 1)) \geq 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$π (x - 1) \geq \arcsin (0)$

Langkah 2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan $π (x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$π x + π \cdot - 1 \geq \arcsin (0)$

Langkah 2.2.1.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $π$ .

$π x - 1 \cdot π \geq \arcsin (0)$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali $- 1 π$ sebagai $- π$ .

$π x - π \geq \arcsin (0)$

Langkah 2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$π x - π \geq 0$

Langkah 2.4

Tambahkan $π$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$π x \geq π$

Langkah 2.5

Bagi setiap suku pada $π x \geq π$ dengan $π$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Bagilah setiap suku di $π x \geq π$ dengan $π$ .

$\frac{π x}{π} \geq \frac{π}{π}$

Langkah 2.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{π x}{π} \geq \frac{π}{π}$

Langkah 2.5.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \geq \frac{π}{π}$

Langkah 2.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x \geq \frac{π}{π}$

Langkah 2.5.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x \geq 1$

Langkah 2.6

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$π x - π = π - 0$

Langkah 2.7

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$π x - π = π$

Langkah 2.7.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1

Tambahkan $π$ ke kedua sisi persamaan.

$π x = π + π$

Langkah 2.7.2.2

Tambahkan $π$ dan $π$ .

$π x = 2 π$

Langkah 2.7.3

Bagi setiap suku pada $π x = 2 π$ dengan $π$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.1

Bagilah setiap suku di $π x = 2 π$ dengan $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{π}$

Langkah 2.7.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{π}$

Langkah 2.7.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 π}{π}$

Langkah 2.7.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{2 π}{π}$

Langkah 2.7.3.3.1.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$x = 2$

Langkah 2.8

Tentukan periode dari $\sin (π (x - 1))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 2.8.2

Ganti $b$ dengan $π$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| π |}$

Langkah 2.8.3

$π$ mendekati $3.14159265$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\frac{2 π}{π}$

Langkah 2.8.4

Batalkan faktor persekutuan dari $π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 π}{π}$

Langkah 2.8.4.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 2.9

Periode dari fungsi $\sin (π (x - 1))$ adalah $2$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2$ radian di kedua arah.

$x = 1 + 2 n, 2 + 2 n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.10

Gabungkan jawabannya.

$x = 1 n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.11

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$0 < x < 1$

$1 < x < 2$

Langkah 2.12

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.1

Uji nilai pada interval $0 < x < 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.1.1

Pilih nilai pada interval $0 < x < 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 0.5$

Langkah 2.12.1.2

Ganti $x$ dengan $0.5$ pada pertidaksamaan asal.

$\sin (π ((0.5) - 1)) \geq 0$

Langkah 2.12.1.3

Sisi kiri $- 1$ lebih kecil dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 2.12.2

Uji nilai pada interval $1 < x < 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.2.1

Pilih nilai pada interval $1 < x < 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 1.5$

Langkah 2.12.2.2

Ganti $x$ dengan $1.5$ pada pertidaksamaan asal.

$\sin (π ((1.5) - 1)) \geq 0$

Langkah 2.12.2.3

Sisi kiri $1$ lebih besar dari sisi kanan $0$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 2.12.3

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$0 < x < 1$ Salah

$1 < x < 2$ Benar

$0 < x < 1$ Salah

$1 < x < 2$ Benar

Langkah 2.13

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$1 + 2 n \leq x \leq 2 + 2 n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{4 - x^{2}}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$4 - x^{2} \geq 0$

Langkah 4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kurangkan $4$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$- x^{2} \geq - 4$

Langkah 4.2

Bagi setiap suku pada $- x^{2} \geq - 4$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Bagi setiap suku dalam $- x^{2} \geq - 4$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 4.2.2.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Bagilah $- 4$ dengan $- 1$ .

$x^{2} \leq 4$

Langkah 4.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi pertidaksamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

Langkah 4.4

Sederhanakan persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x | \leq \sqrt{4}$

Langkah 4.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Sederhanakan $\sqrt{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

Langkah 4.4.2.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x | \leq | 2 |$

Langkah 4.4.2.1.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$| x | \leq 2$

Langkah 4.5

Tulis $| x | \leq 2$ sebagai fungsi sesepenggal.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Untuk mencari interval bagian pertama, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya tidak negatif.

$x \geq 0$

Langkah 4.5.2

Pada bagian di mana $x$ non-negatif, hapus nilai mutlaknya.

$x \leq 2$

Langkah 4.5.3

Untuk mencari interval bagian kedua, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya negatif.

$x < 0$

Langkah 4.5.4

Pada bagian di mana $x$ negatif, hapus nilai mutlaknya dan kalikan dengan $- 1$ .

$- x \leq 2$

Langkah 4.5.5

Tulis sebagai fungsi sesepenggal.

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

Langkah 4.6

Tentukan irisan dari $x \leq 2$ dan $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2$

Langkah 4.7

Selesaikan $- x \leq 2$ ketika $x < 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Bagi setiap suku pada $- x \leq 2$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1.1

Bagi setiap suku dalam $- x \leq 2$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

Langkah 4.7.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

Langkah 4.7.1.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \geq \frac{2}{- 1}$

Langkah 4.7.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1.3.1

Bagilah $2$ dengan $- 1$ .

$x \geq - 2$

Langkah 4.7.2

Tentukan irisan dari $x \geq - 2$ dan $x < 0$ .

$- 2 \leq x < 0$

Langkah 4.8

Tentukan gabungan dari penyelesaian-penyelesaiannya.

$- 2 \leq x \leq 2$

Langkah 5

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | - 2 \leq x \leq 2, x = 1 + 2 n, x = 2 + 2 n}$

Langkah 6