Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{3} + 3 x + 2}{x^{2} - 1}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{3} + 3 x + 2$ dan $g (x) = x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x + 2] - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + 3 x + 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3 + 0) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 4.2

Tambahkan $3 x^{2} + 3$ dan $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 4.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 4.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 4.6

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) + (- x^{3} - (3 x) - 1 \cdot 2) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Perluas $(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} (3 x^{2} + 3) - 1 (3 x^{2} + 3) - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2} + 3) - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.1.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2.1.2.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2.1.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + 3 \cdot x^{2} - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2.1.4

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{3 x^{4} + 3 x^{2} - 3 x^{2} - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 x^{4} + 3 x^{2} - 3 x^{2} - 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2.2

Kurangi $3 x^{2}$ dengan $3 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + 0 - 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2.3

Tambahkan $3 x^{4}$ dan $0$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 x^{3} x - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.4

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.4.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{3}) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.4.2

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{3}) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 x^{1 + 3} - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.4.3

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 x^{4} - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.6

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.6.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - (3 (x \cdot x)) \cdot 2 - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.6.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - (3 x^{2}) \cdot 2 - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.7

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - 3 x^{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.8

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - 6 x^{2} - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.9

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - 6 x^{2} - 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.1.10

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - 6 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Kurangi $2 x^{4}$ dengan $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} - 3 - 6 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 5.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 3}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Langkah 5.5.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 3}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Langkah 5.5.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 3}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$