Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

Langkah 1

Turunan ini tidak dapat diselesaikan menggunakan kaidah hasil bagi. Mathway akan menggunakan metode lain.

Langkah 2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Langkah 3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Langkah 3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Langkah 3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Langkah 3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Langkah 3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Langkah 3.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Langkah 3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$

Langkah 4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{\sqrt{x}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = - 1$ dan $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 4.3

Tulis kembali $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ sebagai ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 4.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 4.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 4.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 4.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 4.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Langkah 4.7

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Langkah 4.7.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Langkah 4.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Langkah 4.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Langkah 4.8

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Langkah 4.9

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Langkah 4.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Langkah 4.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Langkah 4.11.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Langkah 4.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Langkah 4.13

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Langkah 4.14

Gabungkan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ dan $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Langkah 4.15

Kalikan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan $x^{- 1}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.15.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Langkah 4.15.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Langkah 4.15.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Langkah 4.15.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Langkah 4.15.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.15.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Langkah 4.15.5.2

Kurangi $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Langkah 4.15.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Langkah 4.16

Pindahkan $x^{- \frac{3}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Langkah 4.17

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Langkah 4.18

Kalikan $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Langkah 4.19

Kalikan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + 0$

Langkah 4.20

Tambahkan $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 5.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$