Kalkulus Contoh

${(5 x + 1)}^{5} {(4 x + 1)}^{- 2}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = {(5 x + 1)}^{5}$ dan $g (x) = {(4 x + 1)}^{- 2}$ .

${(5 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{- 2}] + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 2}$ dan $g (x) = 4 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $4 x + 1$ .

${(5 x + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $4 x + 1$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

Langkah 3.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

Langkah 3.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (4 + \frac{d}{d x} [1])) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

Langkah 3.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (4 + 0)) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

Langkah 3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tambahkan $4$ dan $0$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} \cdot 4) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

Langkah 3.6.2

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- 8 {(4 x + 1)}^{- 3}) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- 8 \frac{1}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

Langkah 4.2

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{1}{{(4 x + 1)}^{3}}$ .

${(5 x + 1)}^{5} \frac{- 8}{{(4 x + 1)}^{3}} + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

Langkah 4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{5}$ dan $g (x) = 5 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $5 x + 1$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

Langkah 5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

Langkah 5.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $5 x + 1$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

Langkah 6

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Langkah 6.2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Langkah 6.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Langkah 6.4

Kalikan $5$ dengan $1$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (5 + \frac{d}{d x} [1]))$

Langkah 6.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (5 + 0))$

Langkah 6.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Tambahkan $5$ dan $0$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} \cdot 5)$

Langkah 6.6.2

Kalikan $5$ dengan $5$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (25 {(5 x + 1)}^{4})$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + \frac{1}{{(4 x + 1)}^{2}} (25 {(5 x + 1)}^{4})$

Langkah 7.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gabungkan ${(5 x + 1)}^{5}$ dan $\frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}$ .

$- \frac{{(5 x + 1)}^{5} \cdot 8}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{1}{{(4 x + 1)}^{2}} (25 {(5 x + 1)}^{4})$

Langkah 7.2.2

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri ${(5 x + 1)}^{5}$ .

$- \frac{8 \cdot {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{1}{{(4 x + 1)}^{2}} (25 {(5 x + 1)}^{4})$

Langkah 7.2.3

Gabungkan $25$ dan $\frac{1}{{(4 x + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25}{{(4 x + 1)}^{2}} {(5 x + 1)}^{4}$

Langkah 7.2.4

Gabungkan $\frac{25}{{(4 x + 1)}^{2}}$ dan ${(5 x + 1)}^{4}$ .

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4}}{{(4 x + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2.5

Untuk menuliskan $\frac{25 {(5 x + 1)}^{4}}{{(4 x + 1)}^{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4 x + 1}{4 x + 1}$ .

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4}}{{(4 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{4 x + 1}{4 x + 1}$

Langkah 7.2.6

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari ${(4 x + 1)}^{3}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.6.1

Kalikan $\frac{25 {(5 x + 1)}^{4}}{{(4 x + 1)}^{2}}$ dengan $\frac{4 x + 1}{4 x + 1}$ .

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{2} (4 x + 1)}$

Langkah 7.2.6.2

Kalikan ${(4 x + 1)}^{2}$ dengan $4 x + 1$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.6.2.1

Kalikan ${(4 x + 1)}^{2}$ dengan $4 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.6.2.1.1

Naikkan $4 x + 1$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{2} {(4 x + 1)}^{1}}$

Langkah 7.2.6.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{2 + 1}}$

Langkah 7.2.6.2.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

Langkah 7.2.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 8 {(5 x + 1)}^{5} + 25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Faktorkan ${(5 x + 1)}^{4}$ dari $- 8 {(5 x + 1)}^{5} + 25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Faktorkan ${(5 x + 1)}^{4}$ dari $- 8 {(5 x + 1)}^{5}$ .

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x + 1)) + 25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

Langkah 7.3.1.2

Faktorkan ${(5 x + 1)}^{4}$ dari $25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)$ .

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x + 1)) + {(5 x + 1)}^{4} (25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

Langkah 7.3.1.3

Faktorkan ${(5 x + 1)}^{4}$ dari ${(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x + 1)) + {(5 x + 1)}^{4} (25 (4 x + 1))$ .

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x + 1) + 25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

Langkah 7.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x) - 8 \cdot 1 + 25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

Langkah 7.3.3

Kalikan $5$ dengan $- 8$ .

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 \cdot 1 + 25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

Langkah 7.3.4

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 + 25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

Langkah 7.3.5

Terapkan sifat distributif.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 + 25 (4 x) + 25 \cdot 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

Langkah 7.3.6

Kalikan $4$ dengan $25$ .

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 + 100 x + 25 \cdot 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

Langkah 7.3.7

Kalikan $25$ dengan $1$ .

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 + 100 x + 25)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

Langkah 7.3.8

Tambahkan $- 40 x$ dan $100 x$ .

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (60 x - 8 + 25)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

Langkah 7.3.9

Tambahkan $- 8$ dan $25$ .

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (60 x + 17)}{{(4 x + 1)}^{3}}$