Kalkulus Contoh

${(\frac{y + 2}{3 - y})}^{3}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{3}$ dan $g (y) = \frac{y + 2}{3 - y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{y + 2}{3 - y}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [\frac{y + 2}{3 - y}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [\frac{y + 2}{3 - y}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{y + 2}{3 - y}$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{d}{d y} [\frac{y + 2}{3 - y}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ adalah $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ di mana $f (y) = y + 2$ dan $g (y) = 3 - y$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) \frac{d}{d y} [y + 2] - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]) - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) (1 + \frac{d}{d y} [2]) - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Langkah 3.3

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) (1 + 0) - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) \cdot 1 - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Langkah 3.4.2

Kalikan $3 - y$ dengan $1$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Langkah 3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 - y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) (\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y])}{{(3 - y)}^{2}}$

Langkah 3.6

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) (0 + \frac{d}{d y} [- y])}{{(3 - y)}^{2}}$

Langkah 3.7

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) \frac{d}{d y} [- y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Langkah 3.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) (- \frac{d}{d y} [y])}{{(3 - y)}^{2}}$

Langkah 3.9

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y + 1 (y + 2) \frac{d}{d y} [y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Langkah 3.9.2

Kalikan $y + 2$ dengan $1$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y + (y + 2) \frac{d}{d y} [y]}{{(3 - y)}^{2}}$

Langkah 3.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y + (y + 2) \cdot 1}{{(3 - y)}^{2}}$

Langkah 3.11

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Kalikan $y + 2$ dengan $1$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y + y + 2}{{(3 - y)}^{2}}$

Langkah 3.11.2

Tambahkan $- y$ dan $y$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 + 0 + 2}{{(3 - y)}^{2}}$

Langkah 3.11.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.3.1

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 + 2}{{(3 - y)}^{2}}$

Langkah 3.11.3.2

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{5}{{(3 - y)}^{2}}$

Langkah 3.11.3.3

Susun kembali suku-suku.

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{5}{{(- y + 3)}^{2}}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{y + 2}{3 - y}$ .

$3 \frac{{(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2}} \frac{5}{{(- y + 3)}^{2}}$

Langkah 4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{{(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2}}$ .

$\frac{3 {(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2}} \cdot \frac{5}{{(- y + 3)}^{2}}$

Langkah 4.2.2

Kalikan $\frac{3 {(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2}}$ dengan $\frac{5}{{(- y + 3)}^{2}}$ .

$\frac{3 {(y + 2)}^{2} \cdot 5}{{(3 - y)}^{2} {(- y + 3)}^{2}}$

Langkah 4.2.3

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$\frac{15 {(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2} {(- y + 3)}^{2}}$

Langkah 4.2.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{15 {(y + 2)}^{2}}{{(- y + 3)}^{2} {(- y + 3)}^{2}}$

Langkah 4.2.5

Kalikan ${(- y + 3)}^{2}$ dengan ${(- y + 3)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{15 {(y + 2)}^{2}}{{(- y + 3)}^{2 + 2}}$

Langkah 4.2.5.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{15 {(y + 2)}^{2}}{{(- y + 3)}^{4}}$