Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (2 x) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \sin (2 x)$ .

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\cos (2 x)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Langkah 3

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- \frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

Langkah 4.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x$

Langkah 5

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 5.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 5.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 5.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Langkah 5.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 5.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Langkah 5.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Langkah 5.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = π$

Langkah 5.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Langkah 5.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Langkah 6

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

Langkah 8.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

Langkah 9

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{π}$

Langkah 10

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{2} \cos (2 \frac{π}{2})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{π}$

Langkah 10.2

Evaluasi $\sin (u)$ pada $π$ dan pada $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{2} \cos (2 \frac{π}{2})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3.2.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (π)}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3.3

Gabungkan $\frac{π}{2}$ dan $\cos (π)$ .

$- \frac{\frac{π \cos (π)}{2}}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3.4

Tulis kembali $\frac{\frac{π \cos (π)}{2}}{2}$ sebagai hasil kali.

$- (\frac{π \cos (π)}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3.5

Kalikan $\frac{π \cos (π)}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π \cos (π)}{2 \cdot 2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3.7

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3.8

Kalikan $0$ dengan $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3.9

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.9.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.9.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3.9.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3.10

Tambahkan $- \frac{π \cos (π)}{4}$ dan $0$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Langkah 10.3.11

Untuk menuliskan $\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 10.3.12

Gabungkan $\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$ dan $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot 4}{4}$

Langkah 10.3.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- π \cos (π) + \frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot 4}{4}$

Langkah 10.3.14

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- π \cos (π) + \frac{4}{4} (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

Langkah 10.3.15

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.15.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- π \cos (π) + \frac{4}{4} (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

Langkah 10.3.15.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- π \cos (π) + 1 (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

Langkah 10.3.16

Kalikan $\sin (π) - \sin (0)$ dengan $1$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) - \sin (0)}{4}$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) - 0}{4}$

Langkah 11.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) + 0}{4}$

Langkah 11.3

Tambahkan $- π \cos (π) + \sin (π)$ dan $0$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π)}{4}$

Langkah 11.4

Faktorkan $- 1$ dari $- π \cos (π)$ .

$\frac{- (π \cos (π)) + \sin (π)}{4}$

Langkah 11.5

Faktorkan $- 1$ dari $\sin (π)$ .

$\frac{- (π \cos (π)) - 1 (- \sin (π))}{4}$

Langkah 11.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (π \cos (π)) - 1 (- \sin (π))$ .

$\frac{- (π \cos (π) - \sin (π))}{4}$

Langkah 11.7

Tulis kembali $- (π \cos (π) - \sin (π))$ sebagai $- 1 (π \cos (π) - \sin (π))$ .

$\frac{- 1 (π \cos (π) - \sin (π))}{4}$

Langkah 11.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{π \cos (π) - \sin (π)}{4}$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena kosinus negatif di kuadran kedua.

$- \frac{π (- \cos (0)) - \sin (π)}{4}$

Langkah 12.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- \frac{π (- 1 \cdot 1) - \sin (π)}{4}$

Langkah 12.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{π \cdot - 1 - \sin (π)}{4}$

Langkah 12.4

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $π$ .

$- \frac{- 1 \cdot π - \sin (π)}{4}$

Langkah 12.5

Tulis kembali $- 1 π$ sebagai $- π$ .

$- \frac{- π - \sin (π)}{4}$

Langkah 12.6

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$- \frac{- π - \sin (0)}{4}$

Langkah 12.7

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$- \frac{- π - 0}{4}$

Langkah 12.8

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- \frac{- π + 0}{4}$

Langkah 12.9

Tambahkan $- π$ dan $0$ .

$- \frac{- π}{4}$

Langkah 12.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- - \frac{π}{4}$

Langkah 12.11

Kalikan $- - \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.11.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{π}{4}$

Langkah 12.11.2

Kalikan $\frac{π}{4}$ dengan $1$ .

$\frac{π}{4}$

Langkah 13

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{π}{4}$

Bentuk Desimal:

$0.78539816 \dots$