Kalkulus Contoh

$f (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$

Langkah 1

Tentukan perpotongan sumbu x.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk mencari perpotongan sumbu x, substitusikan $0$ ke $y$ dan selesaikan $x$ .

$0 = 4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$

Langkah 1.2

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36 = 0$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36 = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Langkah 1.2.2.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 36, \pm 9, \pm 18, \pm 2, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 12, \pm 6, \pm 4, \pm 2.25$

Langkah 1.2.2.3

Substitusikan $4.5$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $4.5$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1

Substitusikan $4.5$ ke dalam polinomialnya.

$4 \cdot {4.5}^{3} - 24 \cdot {4.5}^{2} + 35 \cdot 4.5 - 36$

Langkah 1.2.2.3.2

Naikkan $4.5$ menjadi pangkat $3$ .

$4 \cdot 91.125 - 24 \cdot {4.5}^{2} + 35 \cdot 4.5 - 36$

Langkah 1.2.2.3.3

Kalikan $4$ dengan $91.125$ .

$364.5 - 24 \cdot {4.5}^{2} + 35 \cdot 4.5 - 36$

Langkah 1.2.2.3.4

Naikkan $4.5$ menjadi pangkat $2$ .

$364.5 - 24 \cdot 20.25 + 35 \cdot 4.5 - 36$

Langkah 1.2.2.3.5

Kalikan $- 24$ dengan $20.25$ .

$364.5 - 486 + 35 \cdot 4.5 - 36$

Langkah 1.2.2.3.6

Kurangi $486$ dengan $364.5$ .

$- 121.5 + 35 \cdot 4.5 - 36$

Langkah 1.2.2.3.7

Kalikan $35$ dengan $4.5$ .

$- 121.5 + 157.5 - 36$

Langkah 1.2.2.3.8

Tambahkan $- 121.5$ dan $157.5$ .

$36 - 36$

Langkah 1.2.2.3.9

Kurangi $36$ dengan $36$ .

$0$

Langkah 1.2.2.4

Karena $4.5$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $2 x - 9$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36}{2 x - 9}$

Langkah 1.2.2.5

Bagilah $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$ dengan $2 x - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$2 x$

$9$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$36$

Langkah 1.2.2.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $4 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$

Langkah 1.2.2.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			+	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$

Langkah 1.2.2.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $4 x^{3} - 18 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$

Langkah 1.2.2.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Langkah 1.2.2.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$

Langkah 1.2.2.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 6 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$

Langkah 1.2.2.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$27 x$

Langkah 1.2.2.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 6 x^{2} + 27 x$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$

Langkah 1.2.2.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$

Langkah 1.2.2.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$

Langkah 1.2.2.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $8 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$

Langkah 1.2.2.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$
							+	$8 x$	-	$36$

Langkah 1.2.2.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $8 x - 36$

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$
							-	$8 x$	+	$36$

Langkah 1.2.2.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2 x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
$2 x$	-	$9$		$4 x^{3}$	-	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$36$
			-	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$35 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$8 x$	-	$36$
							-	$8 x$	+	$36$
										$0$

Langkah 1.2.2.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$2 x^{2} - 3 x + 4$

Langkah 1.2.2.6

Tulis $4 x^{3} - 24 x^{2} + 35 x - 36$ sebagai himpunan faktor.

$(2 x - 9) (2 x^{2} - 3 x + 4) = 0$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 x - 9 = 0$

$2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Langkah 1.2.4

Atur $2 x - 9$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Atur $2 x - 9$ sama dengan $0$ .

$2 x - 9 = 0$

Langkah 1.2.4.2

Selesaikan $2 x - 9 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Tambahkan $9$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 9$

Langkah 1.2.4.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 9$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 9$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Langkah 1.2.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{9}{2}$

Langkah 1.2.4.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{9}{2}$

Langkah 1.2.5

Atur $2 x^{2} - 3 x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $2 x^{2} - 3 x + 4$ sama dengan $0$ .

$2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$

Langkah 1.2.5.2

Selesaikan $2 x^{2} - 3 x + 4 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 1.2.5.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 2$ , $b = - 3$ , dan $c = 4$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 4)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.3.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.3.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.3.1.3

Kurangi $32$ dengan $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.3.1.4

Tulis kembali $- 23$ sebagai $- 1 (23)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (23)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Langkah 1.2.5.2.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.4.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.4.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.4.1.3

Kurangi $32$ dengan $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.4.1.4

Tulis kembali $- 23$ sebagai $- 1 (23)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.4.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (23)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.4.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Langkah 1.2.5.2.4.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = \frac{3 + i \sqrt{23}}{4}$

Langkah 1.2.5.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.5.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 2 \cdot 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.5.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.5.1.3

Kurangi $32$ dengan $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.5.1.4

Tulis kembali $- 23$ sebagai $- 1 (23)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.5.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (23)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.5.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Langkah 1.2.5.2.5.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = \frac{3 - i \sqrt{23}}{4}$

Langkah 1.2.5.2.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = \frac{3 + i \sqrt{23}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{23}}{4}$

Langkah 1.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 x - 9) (2 x^{2} - 3 x + 4) = 0$ benar.

$x = \frac{9}{2}, \frac{3 + i \sqrt{23}}{4}, \frac{3 - i \sqrt{23}}{4}$

Langkah 1.3

perpotongan sumbu x dalam bentuk titik.

perpotongan sumbu x: $(\frac{9}{2}, 0)$

Langkah 2

Tentukan perpotongan sumbu y.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk mencari perpotongan sumbu y, substitusikan $0$ ke $x$ dan selesaikan $y$ .

$y = 4 {(0)}^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Langkah 2.2

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Langkah 2.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = 4 \cdot 0^{3} - 24 \cdot 0^{2} + 35 (0) - 36$

Langkah 2.2.3

Hilangkan tanda kurung.

$y = 4 {(0)}^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan $4 {(0)}^{3} - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Langkah 2.2.4.1.2

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$y = 0 - 24 {(0)}^{2} + 35 (0) - 36$

Langkah 2.2.4.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$y = 0 - 24 \cdot 0 + 35 (0) - 36$

Langkah 2.2.4.1.4

Kalikan $- 24$ dengan $0$ .

$y = 0 + 0 + 35 (0) - 36$

Langkah 2.2.4.1.5

Kalikan $35$ dengan $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 36$

Langkah 2.2.4.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$y = 0 + 0 - 36$

Langkah 2.2.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$y = 0 - 36$

Langkah 2.2.4.2.3

Kurangi $36$ dengan $0$ .

$y = - 36$

Langkah 2.3

perpotongan sumbu y dalam bentuk titik.

perpotongan sumbu y: $(0, - 36)$

Langkah 3

Sebutkan perpotongan-perpotongannya.

perpotongan sumbu x: $(\frac{9}{2}, 0)$

perpotongan sumbu y: $(0, - 36)$

Langkah 4