Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$

Langkah 1

Atur $2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$ sama dengan $0$ .

$2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4 = 0$

Langkah 2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan $2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Langkah 2.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

Langkah 2.1.3

Substitusikan $- 0.5$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 0.5$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Substitusikan $- 0.5$ ke dalam polinomialnya.

$2 {(- 0.5)}^{3} - {(- 0.5)}^{2} - 9 \cdot - 0.5 - 4$

Langkah 2.1.3.2

Naikkan $- 0.5$ menjadi pangkat $3$ .

$2 \cdot - 0.125 - {(- 0.5)}^{2} - 9 \cdot - 0.5 - 4$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 0.125$ .

$- 0.25 - {(- 0.5)}^{2} - 9 \cdot - 0.5 - 4$

Langkah 2.1.3.4

Naikkan $- 0.5$ menjadi pangkat $2$ .

$- 0.25 - 1 \cdot 0.25 - 9 \cdot - 0.5 - 4$

Langkah 2.1.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $0.25$ .

$- 0.25 - 0.25 - 9 \cdot - 0.5 - 4$

Langkah 2.1.3.6

Kurangi $0.25$ dengan $- 0.25$ .

$- 0.5 - 9 \cdot - 0.5 - 4$

Langkah 2.1.3.7

Kalikan $- 9$ dengan $- 0.5$ .

$- 0.5 + 4.5 - 4$

Langkah 2.1.3.8

Tambahkan $- 0.5$ dan $4.5$ .

$4 - 4$

Langkah 2.1.3.9

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$0$

Langkah 2.1.4

Karena $- 0.5$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $2 x + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4}{2 x + 1}$

Langkah 2.1.5

Bagilah $2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$ dengan $2 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$9 x$

$4$

Langkah 2.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$

Langkah 2.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Langkah 2.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Langkah 2.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Langkah 2.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$

Langkah 2.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 2 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$

Langkah 2.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$

Langkah 2.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 2 x^{2} - x$

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$

Langkah 2.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$

Langkah 2.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$

Langkah 2.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 8 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$

Langkah 2.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$
							-	$8 x$	-	$4$

Langkah 2.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 8 x - 4$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	+	$4$

Langkah 2.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$4$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$9 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$8 x$	-	$4$
							+	$8 x$	+	$4$
										$0$

Langkah 2.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} - x - 4$

Langkah 2.1.6

Tulis $2 x^{3} - x^{2} - 9 x - 4$ sebagai himpunan faktor.

$(2 x + 1) (x^{2} - x - 4) = 0$

Langkah 2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x^{2} - x - 4 = 0$

Langkah 2.3

Atur $2 x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Atur $2 x + 1$ sama dengan $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Langkah 2.3.2

Selesaikan $2 x + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x = - 1$

Langkah 2.3.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 2.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 2.3.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Langkah 2.3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{1}{2}$

Langkah 2.4

Atur $x^{2} - x - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x^{2} - x - 4$ sama dengan $0$ .

$x^{2} - x - 4 = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $x^{2} - x - 4 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 2.4.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 1$ , dan $c = - 4$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 4$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.1.3

Tambahkan $1$ dan $16$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.4.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Langkah 2.4.2.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

Langkah 2.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 x + 1) (x^{2} - x - 4) = 0$ benar.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

Langkah 3

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$

Bentuk Desimal:

$x = - 0.5, 2.56155281 \dots, - 1.56155281 \dots$

Langkah 4