Kalkulus Contoh

$2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10 = y$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $y = 2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$ .

$y = 2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$

Langkah 2

Atur $y$ sama dengan $0$ .

$2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10 = 0$

Langkah 3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Langkah 3.1.1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 10, \pm 5, \pm 2, \pm 2.5$

Langkah 3.1.1.3

Substitusikan $- 1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.1

Substitusikan $- 1$ ke dalam polinomialnya.

$2 {(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2} - 1 + 10$

Langkah 3.1.1.3.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$2 \cdot - 1 - 7 {(- 1)}^{2} - 1 + 10$

Langkah 3.1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 - 7 {(- 1)}^{2} - 1 + 10$

Langkah 3.1.1.3.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 2 - 7 \cdot 1 - 1 + 10$

Langkah 3.1.1.3.5

Kalikan $- 7$ dengan $1$ .

$- 2 - 7 - 1 + 10$

Langkah 3.1.1.3.6

Kurangi $7$ dengan $- 2$ .

$- 9 - 1 + 10$

Langkah 3.1.1.3.7

Kurangi $1$ dengan $- 9$ .

$- 10 + 10$

Langkah 3.1.1.3.8

Tambahkan $- 10$ dan $10$ .

$0$

Langkah 3.1.1.4

Karena $- 1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10}{x + 1}$

Langkah 3.1.1.5

Bagilah $2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$ dengan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$x$

$10$

Langkah 3.1.1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$

Langkah 3.1.1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Langkah 3.1.1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Langkah 3.1.1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

Langkah 3.1.1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$

Langkah 3.1.1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 9 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$

Langkah 3.1.1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					-	$9 x^{2}$	-	$9 x$

Langkah 3.1.1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 9 x^{2} - 9 x$

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Langkah 3.1.1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$

Langkah 3.1.1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$

Langkah 3.1.1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $10 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$

Langkah 3.1.1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							+	$10 x$	+	$10$

Langkah 3.1.1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $10 x + 10$

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							-	$10 x$	-	$10$

Langkah 3.1.1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$10$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$x$	+	$10$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$x$
					+	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$10 x$	+	$10$
							-	$10 x$	-	$10$
										$0$

Langkah 3.1.1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$2 x^{2} - 9 x + 10$

Langkah 3.1.1.6

Tulis $2 x^{3} - 7 x^{2} + x + 10$ sebagai himpunan faktor.

$(x + 1) (2 x^{2} - 9 x + 10) = 0$

Langkah 3.1.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot 10 = 20$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1.1

Faktorkan $- 9$ dari $- 9 x$ .

$(x + 1) (2 x^{2} - 9 x + 10) = 0$

Langkah 3.1.2.1.1.2

Tulis kembali $- 9$ sebagai $- 4$ ditambah $- 5$

$(x + 1) (2 x^{2} + (- 4 - 5) x + 10) = 0$

Langkah 3.1.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$(x + 1) (2 x^{2} - 4 x - 5 x + 10) = 0$

Langkah 3.1.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x + 1) ((2 x^{2} - 4 x) - 5 x + 10) = 0$

Langkah 3.1.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x + 1) (2 x (x - 2) - 5 (x - 2)) = 0$

Langkah 3.1.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $x - 2$ .

$(x + 1) ((x - 2) (2 x - 5)) = 0$

Langkah 3.1.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x + 1) (x - 2) (2 x - 5) = 0$

Langkah 3.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Langkah 3.3

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 3.3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 3.4

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 3.4.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 3.5

Atur $2 x - 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $2 x - 5$ sama dengan $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Langkah 3.5.2

Selesaikan $2 x - 5 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 5$

Langkah 3.5.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 5$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 5$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Langkah 3.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Langkah 3.5.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 1) (x - 2) (2 x - 5) = 0$ benar.

$x = - 1, 2, \frac{5}{2}$

Langkah 4