Kalkulus Contoh

$y = \frac{u + 1}{u}$ , $u = 2 x^{3}$

Langkah 1

Kaidah rantai menyatakan bahwa turunan dari $y$ terhadap $x$ sama dengan turunan dari $y$ terhadap $u$ dikali turunan dari $u$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Langkah 2

Temukan $\frac{d y}{d u}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ adalah $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ di mana $f (u) = u + 1$ dan $g (u) = u$ .

$\frac{u \frac{d}{d u} [u + 1] - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $u + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{u (\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{u (1 + \frac{d}{d u} [1]) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Langkah 2.2.3

Karena $1$ konstan terhadap $u$ , turunan dari $1$ terhadap $u$ adalah $0$ .

$\frac{u (1 + 0) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{u \cdot 1 - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Langkah 2.2.4.2

Kalikan $u$ dengan $1$ .

$\frac{u - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Langkah 2.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{u - (u + 1) \cdot 1}{u^{2}}$

Langkah 2.2.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{u - (u + 1)}{u^{2}}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{u - u - 1 \cdot 1}{u^{2}}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kurangi $u$ dengan $u$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{u^{2}}$

Langkah 2.3.2.2

Kurangi $1 \cdot 1$ dengan $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{u^{2}}$

Langkah 2.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{- 1}{u^{2}}$

Langkah 2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{u^{2}}$

Langkah 3

Temukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Langkah 3.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$6 x^{2}$

Langkah 4

Kalikan $\frac{d y}{d u}$ dengan $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (6 x^{2}) \cdot (- \frac{1}{u^{2}})$

Langkah 5

Sederhanakan sisi kanan $(6 x^{2}) \cdot (- \frac{1}{u^{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $(6 x^{2}) (- \frac{1}{u^{2}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$\frac{d y}{d x} = - 6 x^{2} \frac{1}{u^{2}}$

Langkah 5.1.2

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{1}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{- 6}{u^{2}})$

Langkah 5.1.3

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{- 6}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot - 6}{u^{2}}$

Langkah 5.2

Pindahkan $- 6$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 6 \cdot x^{2}}{u^{2}}$

Langkah 5.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{u^{2}}$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari $u$ ke dalam turunan $- \frac{6 x^{2}}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{{(2 x^{3})}^{2}}$

Langkah 7

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{2^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Langkah 7.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 {(x^{3})}^{2}}$

Langkah 7.1.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 x^{3 \cdot 2}}$

Langkah 7.1.3.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 x^{6}}$

Langkah 7.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $6 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{4 x^{6}}$

Langkah 7.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{6}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 x^{6})}$

Langkah 7.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 x^{6})}$

Langkah 7.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{2 x^{6}}$

Langkah 7.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x^{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2 x^{6}}$

Langkah 7.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $2 x^{6}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (2 x^{4})}$

Langkah 7.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (2 x^{4})}$

Langkah 7.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{2 x^{4}}$