Kalkulus Contoh

$w = u^{3}$ , $u = \frac{t - 1}{t + 1}$

Langkah 1

Kaidah rantai menyatakan bahwa turunan dari $w$ terhadap $t$ sama dengan turunan dari $w$ terhadap $u$ dikali turunan dari $u$ terhadap $t$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{d w}{d u} \cdot \frac{d u}{d t}$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 u^{2}$

Langkah 3

Temukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ adalah $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ di mana $f (t) = t - 1$ dan $g (t) = t + 1$ .

$\frac{(t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1] - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$\frac{(t + 1) (1 + 0) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{(t + 1) \cdot 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.4.2

Kalikan $t + 1$ dengan $1$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) (1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.7

Karena $1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) (1 + 0)}{{(t + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) \cdot 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2.8.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1)}{{(t + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{t + 1 - t - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Gabungkan suku balikan dalam $t + 1 - t - - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Kurangi $t$ dengan $t$ .

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.2.1.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{1 - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{{(t + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3.2.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$

Langkah 4

Kalikan $\frac{d w}{d u}$ dengan $\frac{d u}{d t}$ .

$\frac{d w}{d t} = (\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot (3 u^{2})$

Langkah 5

Sederhanakan sisi kanan $(\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot (3 u^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d w}{d t} = 3 (\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot u^{2}$

Langkah 5.2

Kalikan $3 \frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{3 \cdot 2}{{(t + 1)}^{2}} \cdot u^{2}$

Langkah 5.2.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6}{{(t + 1)}^{2}} \cdot u^{2}$

Langkah 5.3

Gabungkan $\frac{6}{{(t + 1)}^{2}}$ dan $u^{2}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 u^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari $u$ ke dalam turunan $\frac{6 u^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(\frac{t - 1}{t + 1})}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$

Langkah 7

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{t - 1}{t + 1}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 (\frac{{(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}})}{{(t + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2

Gabungkan $6$ dan $\frac{{(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{\frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}}{{(t + 1)}^{2}}$

Langkah 7.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$

Langkah 7.4

Gabungkan.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{2} {(t + 1)}^{2}}$

Langkah 7.5

Kalikan ${(t + 1)}^{2}$ dengan ${(t + 1)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{2 + 2}}$

Langkah 7.5.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{4}}$

Langkah 7.6

Kalikan $6 {(t - 1)}^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{4}}$