Kalkulus Contoh

$q = \sqrt{15 r - r^{7}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{15 r - r^{7}}$ sebagai ${(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ .

$q = {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d q} (q) = \frac{d}{d q} ({(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ adalah $n q^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ adalah $f' (g (q)) g' (q)$ di mana $f (q) = q^{\frac{1}{2}}$ dan $g (q) = 15 r - r^{7}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $15 r - r^{7}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Langkah 4.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $15 r - r^{7}$ .

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Langkah 4.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Langkah 4.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Langkah 4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Langkah 4.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Langkah 4.5.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Langkah 4.6

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(15 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Langkah 4.6.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(15 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(15 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Langkah 4.6.3

Pindahkan ${(15 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d q} [15 r - r^{7}]$

Langkah 4.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $15 r - r^{7}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d q} [15 r] + \frac{d}{d q} [- r^{7}]$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d q} [15 r] + \frac{d}{d q} [- r^{7}])$

Langkah 4.8

Karena $15$ konstan terhadap $q$ , turunan dari $15 r$ terhadap $q$ adalah $15 \frac{d}{d q} [r]$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 \frac{d}{d q} [r] + \frac{d}{d q} [- r^{7}])$

Langkah 4.9

Tulis kembali $\frac{d}{d q} [r]$ sebagai $r'$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' + \frac{d}{d q} [- r^{7}])$

Langkah 4.10

Karena $- 1$ konstan terhadap $q$ , turunan dari $- r^{7}$ terhadap $q$ adalah $- \frac{d}{d q} [r^{7}]$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - \frac{d}{d q} [r^{7}])$

Langkah 4.11

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ adalah $f' (g (q)) g' (q)$ di mana $f (q) = q^{7}$ dan $g (q) = r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $r$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d q} [r]))$

Langkah 4.11.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 7$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d q} [r]))$

Langkah 4.11.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $r$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - (7 r^{6} \frac{d}{d q} [r]))$

Langkah 4.12

Kalikan $7$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - 7 (r^{6} \frac{d}{d q} [r]))$

Langkah 4.13

Tulis kembali $\frac{d}{d q} [r]$ sebagai $r'$ .

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r' - 7 r^{6} r')$

Langkah 4.14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.14.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (15 r') + \frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (- 7 r^{6} r')$

Langkah 4.14.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.14.2.1

Gabungkan $15$ dan $\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{15}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} r' + \frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (- 7 r^{6} r')$

Langkah 4.14.2.2

Gabungkan $\frac{15}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $r'$ .

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (- 7 r^{6} r')$

Langkah 4.14.2.3

Gabungkan $- 7$ dan $\frac{1}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 7}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (r^{6} r')$

Langkah 4.14.2.4

Gabungkan $r^{6}$ dan $\frac{- 7}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{r^{6} \cdot - 7}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} r'$

Langkah 4.14.2.5

Gabungkan $\frac{r^{6} \cdot - 7}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $r'$ .

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{r^{6} \cdot - 7 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.14.2.6

Pindahkan $- 7$ ke sebelah kiri $r^{6}$ .

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 7 \cdot r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.14.2.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.14.3

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$1 = - \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6

Selesaikan $r'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} = 1$

Langkah 6.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}, 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}, 1$

Langkah 6.2.2

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 6.2.3

Karena $2$ tidak memiliki faktor selain $1$ dan $2$ .

$2$ adalah bilangan prima

Langkah 6.2.4

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 6.2.5

KPK dari $2, 2, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$2$

Langkah 6.2.6

Faktor untuk $15 r - r^{7}$ adalah $15 r - r^{7}$ itu sendiri.

$(15 r - r^{7}) = 15 r - r^{7}$

$(15 r - r^{7})$ terjadi $1$ kali.

Langkah 6.2.7

KPK dari ${(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}, {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor dengan frekuensi terbanyak yang muncul dalam kedua pernyataan tersebut.

${(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.2.8

Kelipatan Persekutuan Terkecil $LCM$ dari beberapa bilangan adalah bilangan terkecil yang menjadi faktor.

$2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3

Kalikan setiap suku pada $- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ dengan $2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} = 1$ dengan $2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 7 r^{6} r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 6.3.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 7 r^{6} r' + \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.2.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 7 r^{6} r' + 2 \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 7 r^{6} r' + 2 \frac{15 r'}{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 7 r^{6} r' + \frac{15 r'}{{(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari ${(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 7 r^{6} r' + \frac{15 r'}{{(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 7 r^{6} r' + 15 r' = 1 (2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Kalikan $2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$- 7 r^{6} r' + 15 r' = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Faktorkan $r'$ dari $- 7 r^{6} r' + 15 r'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1

Faktorkan $r'$ dari $- 7 r^{6} r'$ .

$r' (- 7 r^{6}) + 15 r' = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.4.1.2

Faktorkan $r'$ dari $15 r'$ .

$r' (- 7 r^{6}) + r' \cdot 15 = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.4.1.3

Faktorkan $r'$ dari $r' (- 7 r^{6}) + r' \cdot 15$ .

$r' (- 7 r^{6} + 15) = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.4.2

Bagi setiap suku pada $r' (- 7 r^{6} + 15) = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ dengan $- 7 r^{6} + 15$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Bagilah setiap suku di $r' (- 7 r^{6} + 15) = 2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ dengan $- 7 r^{6} + 15$ .

$\frac{r' (- 7 r^{6} + 15)}{- 7 r^{6} + 15} = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- 7 r^{6} + 15}$

Langkah 6.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 7 r^{6} + 15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{r' (- 7 r^{6} + 15)}{- 7 r^{6} + 15} = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- 7 r^{6} + 15}$

Langkah 6.4.2.2.1.2

Bagilah $r'$ dengan $1$ .

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- 7 r^{6} + 15}$

Langkah 6.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.3.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 7 r^{6}$ .

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- (7 r^{6}) + 15}$

Langkah 6.4.2.3.2

Tulis kembali $15$ sebagai $- 1 (- 15)$ .

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- (7 r^{6}) - 1 (- 15)}$

Langkah 6.4.2.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (7 r^{6}) - 1 (- 15)$ .

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- (7 r^{6} - 15)}$

Langkah 6.4.2.3.4

Tulis kembali negatifnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.3.4.1

Tulis kembali $- (7 r^{6} - 15)$ sebagai $- 1 (7 r^{6} - 15)$ .

$r' = \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{- 1 (7 r^{6} - 15)}$

Langkah 6.4.2.3.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$r' = - \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{7 r^{6} - 15}$

Langkah 7

Ganti $r'$ dengan $\frac{d r}{d q}$ .

$\frac{d r}{d q} = - \frac{2 {(15 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}{7 r^{6} - 15}$