Kalkulus Contoh

$x \sin (3 x + 5 y) = y \cos (x)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} (x \sin (3 x + 5 y)) = \frac{d}{d y} (y \cos (x))$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = x$ dan $g (y) = \sin (3 x + 5 y)$ .

$x \frac{d}{d y} [\sin (3 x + 5 y)] + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = \sin (y)$ dan $g (y) = 3 x + 5 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x + 5 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [3 x + 5 y]) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d y} [3 x + 5 y]) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x + 5 y$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [3 x + 5 y]) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + 5 y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [5 y]$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [5 y])) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 2.3.2

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 x$ terhadap $y$ adalah $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5 y])) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + \frac{d}{d y} [5 y])) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 2.5

Karena $5$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $5 y$ terhadap $y$ adalah $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5 \frac{d}{d y} [y])) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5 \cdot 1)) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 2.7

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5)) + \sin (3 x + 5 y) \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 2.8

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$x (\cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5)) + \sin (3 x + 5 y) x'$

Langkah 2.9

Susun kembali suku-suku.

$x \cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5) + \sin (3 x + 5 y) x'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = y$ dan $g (y) = \cos (x)$ .

$y \frac{d}{d y} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = \cos (y)$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x$ .

$y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$y (- \sin (u) \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$y (- \sin (x) \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$y (- \sin (x) x') + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y (- \sin (x) x') + \cos (x) \cdot 1$

Langkah 3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$y (- \sin (x) x') + \cos (x)$

Langkah 3.5.2

Susun kembali suku-suku.

$- y \sin (x) x' + \cos (x)$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$x \cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5) + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

Langkah 5

Selesaikan $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Sederhanakan $x \cos (3 x + 5 y) (3 x' + 5) + \sin (3 x + 5 y) x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$x \cos (3 x + 5 y) (3 x') + x \cos (3 x + 5 y) \cdot 5 + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

Langkah 5.1.1.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 x \cos (3 x + 5 y) x' + x \cos (3 x + 5 y) \cdot 5 + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

Langkah 5.1.1.1.3

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $x \cos (3 x + 5 y)$ .

$3 x \cos (3 x + 5 y) x' + 5 \cdot (x \cos (3 x + 5 y)) + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

Langkah 5.1.1.1.4

Hilangkan tanda kurung.

$3 x \cos (3 x + 5 y) x' + 5 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) x' = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

Langkah 5.1.1.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $3 x \cos (3 x + 5 y) x' + 5 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) x'$ .

$3 x x' \cos (3 x + 5 y) + 5 x \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) = - y \sin (x) x' + \cos (x)$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $- y \sin (x) x' + \cos (x)$ .

$3 x x' \cos (3 x + 5 y) + 5 x \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) = - y x' \sin (x) + \cos (x)$

Langkah 5.3

Tambahkan $y x' \sin (x)$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x x' \cos (3 x + 5 y) + 5 x \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) + y x' \sin (x) = \cos (x)$

Langkah 5.4

Kurangkan $5 x \cos (3 x + 5 y)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x x' \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) + y x' \sin (x) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

Langkah 5.5

Faktorkan $x'$ dari $3 x x' \cos (3 x + 5 y) + x' \sin (3 x + 5 y) + y x' \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Faktorkan $x'$ dari $3 x x' \cos (3 x + 5 y)$ .

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y)) + x' (\sin (3 x + 5 y)) + y (x') \sin (x) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

Langkah 5.5.2

Faktorkan $x'$ dari $x' \sin (3 x + 5 y)$ .

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y)) + x' (\sin (3 x + 5 y)) + y (x') \sin (x) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

Langkah 5.5.3

Faktorkan $x'$ dari $y x' \sin (x)$ .

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y)) + x' (\sin (3 x + 5 y)) + x' (y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

Langkah 5.5.4

Faktorkan $x'$ dari $x' (3 x \cos (3 x + 5 y)) + x' (\sin (3 x + 5 y))$ .

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y)) + x' (y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

Langkah 5.5.5

Faktorkan $x'$ dari $x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y)) + x' (y \sin (x))$ .

$x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$

Langkah 5.6

Bagi setiap suku pada $x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$ dengan $3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Bagilah setiap suku di $x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)) = \cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)$ dengan $3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)$ .

$\frac{x' (3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x))}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)} = \frac{\cos (x)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)} + \frac{- 5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$

Langkah 5.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 5.6.2.1.2

Bagilah $x'$ dengan $1$ .

$x' = \frac{\cos (x)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)} + \frac{- 5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$

Langkah 5.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x' = \frac{\cos (x)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)} - \frac{5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$

Langkah 5.6.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x' = \frac{\cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$

Langkah 6

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\cos (x) - 5 x \cos (3 x + 5 y)}{3 x \cos (3 x + 5 y) + \sin (3 x + 5 y) + y \sin (x)}$