Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{4^{x}}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

Langkah 1.1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

Langkah 1.1.3

Karena eksponen $x$ mendekati $\infty$ , jumlah $4^{x}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{4^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{4^{x} \ln (4)}$

Langkah 2

Pindahkan suku $\frac{4}{\ln (4)}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{4}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{4^{x}}$

Langkah 3

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

Langkah 3.1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

Langkah 3.1.3

Karena eksponen $x$ mendekati $\infty$ , jumlah $4^{x}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 3.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 3.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{4^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

Langkah 3.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$\frac{4}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{4}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $4$ .

$\frac{4}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{4^{x} \ln (4)}$

Langkah 4

Pindahkan suku $\frac{3}{\ln (4)}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{4^{x}}$

Langkah 5

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

Langkah 5.1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

Langkah 5.1.3

Karena eksponen $x$ mendekati $\infty$ , jumlah $4^{x}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 5.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 5.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{4^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

Langkah 5.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

Langkah 5.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

Langkah 5.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $4$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{4^{x} \ln (4)}$

Langkah 6

Pindahkan suku $\frac{2}{\ln (4)}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{x}{4^{x}}$

Langkah 7

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

Langkah 7.1.2

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

Langkah 7.1.3

Karena eksponen $x$ mendekati $\infty$ , jumlah $4^{x}$ mendekati $\infty$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 7.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{\infty}{\infty}$

Langkah 7.2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{4^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

Langkah 7.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

Langkah 7.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

Langkah 7.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $4$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4^{x} \ln (4)}$

Langkah 8

Pindahkan suku $\frac{1}{\ln (4)}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4^{x}}$

Langkah 9

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{4^{x}}$ mendekati $0$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Langkah 10

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali $\ln (4)$ sebagai $\ln (2^{2})$ .

$\frac{4}{\ln (2^{2})} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Langkah 10.2

Perluas $\ln (2^{2})$ dengan memindahkan $2$ ke luar logaritma.

$\frac{4}{2 \ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Langkah 10.3

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Langkah 10.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \ln (2)$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (\ln (2))} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Langkah 10.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Langkah 10.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Langkah 10.4

Kalikan $\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Kalikan $\frac{2}{\ln (2)}$ dengan $\frac{3}{\ln (4)}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{\ln (2) \ln (4)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Langkah 10.4.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{6}{\ln (2) \ln (4)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Langkah 10.5

Tulis kembali $\ln (4)$ sebagai $\ln (2^{2})$ .

$\frac{6}{\ln (2) \ln (2^{2})} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Langkah 10.6

Perluas $\ln (2^{2})$ dengan memindahkan $2$ ke luar logaritma.

$\frac{6}{\ln (2) (2 \ln (2))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Langkah 10.7

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.7.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{\ln (2) (2 \ln (2))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Langkah 10.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $\ln (2) (2 \ln (2))$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (\ln (2) (\ln (2)))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Langkah 10.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (\ln (2) (\ln (2)))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Langkah 10.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{\ln (2) (\ln (2))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Langkah 10.8

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.8.1

Naikkan $\ln (2)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3}{\ln^{1} (2) \ln (2)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Langkah 10.8.2

Naikkan $\ln (2)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3}{\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Langkah 10.8.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3}{{\ln (2)}^{1 + 1}} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Langkah 10.8.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{3}{\ln^{2} (2)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Langkah 10.9

Gabungkan.

$\frac{3 \cdot 2}{\ln^{2} (2) \ln (4)} \cdot \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

Langkah 10.10

Gabungkan.

$\frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{\ln^{2} (2) \ln (4) \ln (4)} \cdot 0$

Langkah 10.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.11.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{6 \cdot 1}{\ln^{2} (2) \ln (4) \ln (4)} \cdot 0$

Langkah 10.11.2

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$\frac{6}{\ln^{2} (2) \ln (4) \ln (4)} \cdot 0$

Langkah 10.12

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.12.1

Naikkan $\ln (4)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{6}{\ln^{2} (2) (\ln^{1} (4) \ln (4))} \cdot 0$

Langkah 10.12.2

Naikkan $\ln (4)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{6}{\ln^{2} (2) (\ln^{1} (4) \ln^{1} (4))} \cdot 0$

Langkah 10.12.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{6}{\ln^{2} (2) {\ln (4)}^{1 + 1}} \cdot 0$

Langkah 10.12.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{6}{\ln^{2} (2) \ln^{2} (4)} \cdot 0$

Langkah 10.13

Kalikan $\frac{6}{\ln^{2} (2) \ln^{2} (4)}$ dengan $0$ .

$0$