Kalkulus Contoh

${(6 x y + 5)}^{2} = 12 y$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d y} ({(6 x y + 5)}^{2}) = \frac{d}{d y} (12 y)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${(6 x y + 5)}^{2}$ sebagai $(6 x y + 5) (6 x y + 5)$ .

$\frac{d}{d y} [(6 x y + 5) (6 x y + 5)]$

Langkah 2.2

Perluas $(6 x y + 5) (6 x y + 5)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d y} [6 x y (6 x y + 5) + 5 (6 x y + 5)]$

Langkah 2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d y} [6 x y (6 x y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y + 5)]$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d y} [6 x y (6 x y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Langkah 2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{d}{d y} [6 (x \cdot x) y (6 y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Langkah 2.3.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d}{d y} [6 x^{2} y (6 y) + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Pindahkan $y$ .

$\frac{d}{d y} [6 x^{2} (y \cdot y) \cdot 6 + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Langkah 2.3.1.2.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$\frac{d}{d y} [6 x^{2} y^{2} \cdot 6 + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan $6$ dengan $6$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 6 x y \cdot 5 + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Langkah 2.3.1.4

Kalikan $5$ dengan $6$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 30 x y + 5 (6 x y) + 5 \cdot 5]$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $6$ dengan $5$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 30 x y + 30 (x y) + 5 \cdot 5]$

Langkah 2.3.1.6

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 30 x y + 30 x y + 25]$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $30 x y$ dan $30 x y$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2} + 60 x y + 25]$

Langkah 2.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $36 x^{2} y^{2} + 60 x y + 25$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$ .

$\frac{d}{d y} [36 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Langkah 2.4.2

Karena $36$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $36 x^{2} y^{2}$ terhadap $y$ adalah $36 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}]$ .

$36 \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = x^{2}$ dan $g (y) = y^{2}$ .

$36 (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$36 (x^{2} (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Langkah 2.6.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$36 (2 \cdot x^{2} y + y^{2} \frac{d}{d y} [x^{2}]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Langkah 2.7

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{2}$ dan $g (y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x$ .

$36 (2 x^{2} y + y^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Langkah 2.7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$36 (2 x^{2} y + y^{2} (2 u \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Langkah 2.7.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x$ .

$36 (2 x^{2} y + y^{2} (2 x \frac{d}{d y} [x])) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Langkah 2.8

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 \cdot y^{2} x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Langkah 2.9

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + \frac{d}{d y} [60 x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Langkah 2.10

Karena $60$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $60 x y$ terhadap $y$ adalah $60 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [25]$

Langkah 2.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = x$ dan $g (y) = y$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [25]$

Langkah 2.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [25]$

Langkah 2.12.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [25]$

Langkah 2.13

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x') + \frac{d}{d y} [25]$

Langkah 2.14

Karena $25$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $25$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x') + 0$

Langkah 2.15

Tambahkan $36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x')$ dan $0$ .

$36 (2 x^{2} y + 2 y^{2} x x') + 60 (x + y x')$

Langkah 2.16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.16.1

Terapkan sifat distributif.

$36 (2 x^{2} y) + 36 (2 y^{2} x x') + 60 (x + y x')$

Langkah 2.16.2

Terapkan sifat distributif.

$36 (2 x^{2} y) + 36 (2 y^{2} x x') + 60 x + 60 (y x')$

Langkah 2.16.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.16.3.1

Kalikan $2$ dengan $36$ .

$72 (x^{2} y) + 36 (2 y^{2} x x') + 60 x + 60 (y x')$

Langkah 2.16.3.2

Kalikan $2$ dengan $36$ .

$72 x^{2} y + 72 y^{2} x x' + 60 x + 60 y x'$

Langkah 2.16.4

Susun kembali suku-suku.

$72 x^{2} y + 72 y^{2} x x' + 60 y x' + 60 x$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $12$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $12 y$ terhadap $y$ adalah $12 \frac{d}{d y} [y]$ .

$12 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$12 \cdot 1$

Langkah 3.3

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$12$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$72 x^{2} y + 72 y^{2} x x' + 60 y x' + 60 x = 12$

Langkah 5

Selesaikan $x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $72 x^{2} y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$72 y^{2} x x' + 60 y x' + 60 x = 12 - 72 x^{2} y$

Langkah 5.1.2

Kurangkan $60 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$72 y^{2} x x' + 60 y x' = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

Langkah 5.2

Faktorkan $12 y x'$ dari $72 y^{2} x x' + 60 y x'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $12 y x'$ dari $72 y^{2} x x'$ .

$12 y x' (6 y x) + 60 y x' = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $12 y x'$ dari $60 y x'$ .

$12 y x' (6 y x) + 12 y x' \cdot 5 = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $12 y x'$ dari $12 y x' (6 y x) + 12 y x' \cdot 5$ .

$12 y x' (6 y x + 5) = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $12 y x' (6 y x + 5) = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$ dengan $12 y (6 y x + 5)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $12 y x' (6 y x + 5) = 12 - 72 x^{2} y - 60 x$ dengan $12 y (6 y x + 5)$ .

$\frac{12 y x' (6 y x + 5)}{12 y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12 y x' (6 y x + 5)}{12 y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y x' (6 y x + 5)}{y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y x' (6 y x + 5)}{y (6 y x + 5)} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Langkah 5.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x' (6 y x + 5)}{6 y x + 5} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Langkah 5.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $6 y x + 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x' (6 y x + 5)}{6 y x + 5} = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Langkah 5.3.2.3.2

Bagilah $x'$ dengan $1$ .

$x' = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x' = \frac{12}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Langkah 5.3.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 72 x^{2} y}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Langkah 5.3.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 72$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.1

Faktorkan $12$ dari $- 72 x^{2} y$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{12 (- 6 x^{2} y)}{12 y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Langkah 5.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.2.1

Faktorkan $12$ dari $12 y (6 y x + 5)$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{12 (- 6 x^{2} y)}{12 (y (6 y x + 5))} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Langkah 5.3.3.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{12 (- 6 x^{2} y)}{12 (y (6 y x + 5))} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Langkah 5.3.3.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Langkah 5.3.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Langkah 5.3.3.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} + \frac{- 6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Langkah 5.3.3.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{- 60 x}{12 y (6 y x + 5)}$

Langkah 5.3.3.1.5

Hapus faktor persekutuan dari $- 60$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.5.1

Faktorkan $12$ dari $- 60 x$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{12 (- 5 x)}{12 y (6 y x + 5)}$

Langkah 5.3.3.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.5.2.1

Faktorkan $12$ dari $12 y (6 y x + 5)$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{12 (- 5 x)}{12 (y (6 y x + 5))}$

Langkah 5.3.3.1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{12 (- 5 x)}{12 (y (6 y x + 5))}$

Langkah 5.3.3.1.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} + \frac{- 5 x}{y (6 y x + 5)}$

Langkah 5.3.3.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Langkah 5.3.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y}{y}$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2}}{6 y x + 5} \cdot \frac{y}{y} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Langkah 5.3.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $y (6 y x + 5)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Kalikan $\frac{6 x^{2}}{6 y x + 5}$ dengan $\frac{y}{y}$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2} y}{(6 y x + 5) y} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Langkah 5.3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(6 y x + 5) y$ .

$x' = \frac{1}{y (6 y x + 5)} - \frac{6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Langkah 5.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x' = \frac{1 - 6 x^{2} y}{y (6 y x + 5)} - \frac{5 x}{y (6 y x + 5)}$

Langkah 5.3.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x' = \frac{1 - 6 x^{2} y - 5 x}{y (6 y x + 5)}$

Langkah 6

Ganti $x'$ dengan $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 - 6 x^{2} y - 5 x}{y (6 y x + 5)}$