Kalkulus Contoh

$y = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$

Langkah 1

Tentukan perpotongan sumbu x.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk mencari perpotongan sumbu x, substitusikan $0$ ke $y$ dan selesaikan $x$ .

$0 = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$

Langkah 1.2

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5 = 0$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5 = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Langkah 1.2.2.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 5, \pm 2.5$

Langkah 1.2.2.3

Substitusikan $5$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $5$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1

Substitusikan $5$ ke dalam polinomialnya.

$2 \cdot 5^{3} - 3 \cdot 5^{2} - 36 \cdot 5 + 5$

Langkah 1.2.2.3.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $3$ .

$2 \cdot 125 - 3 \cdot 5^{2} - 36 \cdot 5 + 5$

Langkah 1.2.2.3.3

Kalikan $2$ dengan $125$ .

$250 - 3 \cdot 5^{2} - 36 \cdot 5 + 5$

Langkah 1.2.2.3.4

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$250 - 3 \cdot 25 - 36 \cdot 5 + 5$

Langkah 1.2.2.3.5

Kalikan $- 3$ dengan $25$ .

$250 - 75 - 36 \cdot 5 + 5$

Langkah 1.2.2.3.6

Kurangi $75$ dengan $250$ .

$175 - 36 \cdot 5 + 5$

Langkah 1.2.2.3.7

Kalikan $- 36$ dengan $5$ .

$175 - 180 + 5$

Langkah 1.2.2.3.8

Kurangi $180$ dengan $175$ .

$- 5 + 5$

Langkah 1.2.2.3.9

Tambahkan $- 5$ dan $5$ .

$0$

Langkah 1.2.2.4

Karena $5$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 5$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5}{x - 5}$

Langkah 1.2.2.5

Bagilah $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$ dengan $x - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$36 x$

$5$

Langkah 1.2.2.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $2 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$

Langkah 1.2.2.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			+	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Langkah 1.2.2.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $2 x^{3} - 10 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Langkah 1.2.2.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Langkah 1.2.2.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$

Langkah 1.2.2.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $7 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$

Langkah 1.2.2.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$35 x$

Langkah 1.2.2.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $7 x^{2} - 35 x$

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$

Langkah 1.2.2.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$

Langkah 1.2.2.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$

Langkah 1.2.2.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$

Langkah 1.2.2.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$
							-	$x$	+	$5$

Langkah 1.2.2.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- x + 5$

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$
							+	$x$	-	$5$

Langkah 1.2.2.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$
							+	$x$	-	$5$
										$0$

Langkah 1.2.2.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$2 x^{2} + 7 x - 1$

Langkah 1.2.2.6

Tulis $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$ sebagai himpunan faktor.

$(x - 5) (2 x^{2} + 7 x - 1) = 0$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 5 = 0$

$2 x^{2} + 7 x - 1 = 0$

Langkah 1.2.4

Atur $x - 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Atur $x - 5$ sama dengan $0$ .

$x - 5 = 0$

Langkah 1.2.4.2

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 5$

Langkah 1.2.5

Atur $2 x^{2} + 7 x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $2 x^{2} + 7 x - 1$ sama dengan $0$ .

$2 x^{2} + 7 x - 1 = 0$

Langkah 1.2.5.2

Selesaikan $2 x^{2} + 7 x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 1.2.5.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 2$ , $b = 7$ , dan $c = - 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.3.1.1

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.3.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.3.1.3

Tambahkan $49$ dan $8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{4}$

Langkah 1.2.5.2.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.4.1.1

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.4.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.4.1.3

Tambahkan $49$ dan $8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{4}$

Langkah 1.2.5.2.4.3

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{57}}{4}$

Langkah 1.2.5.2.4.4

Tulis kembali $- 7$ sebagai $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{57}}{4}$

Langkah 1.2.5.2.4.5

Faktorkan $- 1$ dari $\sqrt{57}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{57})}{4}$

Langkah 1.2.5.2.4.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{57})$ .

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{57})}{4}$

Langkah 1.2.5.2.4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{7 - \sqrt{57}}{4}$

Langkah 1.2.5.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.5.1.1

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.5.1.2.2

Kalikan $- 8$ dengan $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.5.1.3

Tambahkan $49$ dan $8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

Langkah 1.2.5.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{4}$

Langkah 1.2.5.2.5.3

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{57}}{4}$

Langkah 1.2.5.2.5.4

Tulis kembali $- 7$ sebagai $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{57}}{4}$

Langkah 1.2.5.2.5.5

Faktorkan $- 1$ dari $- \sqrt{57}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{57})}{4}$

Langkah 1.2.5.2.5.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (7) - (\sqrt{57})$ .

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{57})}{4}$

Langkah 1.2.5.2.5.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$

Langkah 1.2.5.2.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = - \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$

Langkah 1.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 5) (2 x^{2} + 7 x - 1) = 0$ benar.

$x = 5, - \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$

Langkah 1.3

perpotongan sumbu x dalam bentuk titik.

perpotongan sumbu x: $(5, 0), (- \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, 0), (- \frac{7 + \sqrt{57}}{4}, 0)$

Langkah 2

Tentukan perpotongan sumbu y.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk mencari perpotongan sumbu y, substitusikan $0$ ke $x$ dan selesaikan $y$ .

$y = 2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Langkah 2.2

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Langkah 2.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Langkah 2.2.3

Hilangkan tanda kurung.

$y = 2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan $2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$y = 2 \cdot 0 - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Langkah 2.2.4.1.2

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$y = 0 - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Langkah 2.2.4.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$y = 0 - 3 \cdot 0 - 36 \cdot 0 + 5$

Langkah 2.2.4.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$y = 0 + 0 - 36 \cdot 0 + 5$

Langkah 2.2.4.1.5

Kalikan $- 36$ dengan $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 5$

Langkah 2.2.4.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$y = 0 + 0 + 5$

Langkah 2.2.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$y = 0 + 5$

Langkah 2.2.4.2.3

Tambahkan $0$ dan $5$ .

$y = 5$

Langkah 2.3

perpotongan sumbu y dalam bentuk titik.

perpotongan sumbu y: $(0, 5)$

Langkah 3

Sebutkan perpotongan-perpotongannya.

perpotongan sumbu x: $(5, 0), (- \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, 0), (- \frac{7 + \sqrt{57}}{4}, 0)$

perpotongan sumbu y: $(0, 5)$

Langkah 4