Kalkulus Contoh

$\sin (h (x)) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

Langkah 1

Kalikan $h$ dengan $x$ .

$\sin (h x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\sin (h x)) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = h x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $h x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [h x]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [h x]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $h x$ .

$\cos (h x) \frac{d}{d x} [h x]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = h$ dan $g (x) = x$ .

$\cos (h x) (h \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [h])$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\cos (h x) (h \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [h])$

Langkah 3.3.2

Kalikan $h$ dengan $1$ .

$\cos (h x) (h + x \frac{d}{d x} [h])$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [h]$ sebagai $h'$ .

$\cos (h x) (h + x h')$

Langkah 3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\cos (h x) h + \cos (h x) (x h')$

Langkah 3.5.2

Susun kembali suku-suku.

$h \cos (h x) + x \cos (h x) h'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$

Langkah 4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} - e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

Langkah 4.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Langkah 4.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Langkah 4.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

Langkah 4.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Langkah 4.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Langkah 4.5.2

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + 1 e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.5.2.2

Kalikan $e^{- x}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \cdot 1)$

Langkah 4.5.4

Kalikan $e^{- x}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

Langkah 4.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Langkah 4.6.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Langkah 4.6.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$h \cos (h x) + x \cos (h x) h' = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Langkah 6

Selesaikan $h'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $h \cos (h x) + x \cos (h x) h'$ .

$h \cos (h x) + x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Langkah 6.2

Kurangkan $h \cos (h x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$

Langkah 6.3

Bagi setiap suku pada $x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$ dengan $x \cos (h x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Bagilah setiap suku di $x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$ dengan $x \cos (h x)$ .

$\frac{x h' \cos (h x)}{x \cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x h' \cos (h x)}{x \cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Langkah 6.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{h' \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Langkah 6.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (h x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{h' \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Langkah 6.3.2.2.2

Bagilah $h'$ dengan $1$ .

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1.1

Pisahkan pecahan.

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x} \cdot \frac{1}{\cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Langkah 6.3.3.1.2

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (h x)}$ ke $\sec (h x)$ .

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Langkah 6.3.3.1.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$h' = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{1}{x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Langkah 6.3.3.1.4

Gabungkan.

$h' = \frac{e^{x} \cdot 1}{2 x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Langkah 6.3.3.1.5

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$h' = \frac{e^{x}}{2 x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Langkah 6.3.3.1.6

Gabungkan $\frac{e^{x}}{2 x}$ dan $\sec (h x)$ .

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Langkah 6.3.3.1.7

Pisahkan pecahan.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x} \cdot \frac{1}{\cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Langkah 6.3.3.1.8

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (h x)}$ ke $\sec (h x)$ .

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Langkah 6.3.3.1.9

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Langkah 6.3.3.1.10

Gabungkan.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \cdot 1}{2 x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Langkah 6.3.3.1.11

Kalikan $e^{- x}$ dengan $1$ .

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x}}{2 x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Langkah 6.3.3.1.12

Gabungkan $\frac{e^{- x}}{2 x}$ dan $\sec (h x)$ .

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Langkah 6.3.3.1.13

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (h x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1.13.1

Batalkan faktor persekutuan.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Langkah 6.3.3.1.13.2

Tulis kembali pernyataannya.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h}{x}$

Langkah 6.3.3.1.14

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} - \frac{h}{x}$

Langkah 7

Ganti $h'$ dengan $\frac{d h}{d x}$ .

$\frac{d h}{d x} = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} - \frac{h}{x}$