Kalkulus Contoh

$p = \frac{500}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d t} (p) = \frac{d}{d t} (\frac{500}{12 + 5 e^{- 0.5 t}})$

Langkah 2

Turunan dari $p$ terhadap $t$ adalah $p'$ .

$p'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Karena $500$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $\frac{500}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}$ terhadap $t$ adalah $500 \frac{d}{d t} [\frac{1}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}]$ .

$500 \frac{d}{d t} [\frac{1}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}]$

Langkah 3.1.2

Tulis kembali $\frac{1}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}$ sebagai ${(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 1}$ .

$500 \frac{d}{d t} [{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 1}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = t^{- 1}$ dan $g (t) = 12 + 5 e^{- 0.5 t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $12 + 5 e^{- 0.5 t}$ .

$500 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [12 + 5 e^{- 0.5 t}])$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$500 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [12 + 5 e^{- 0.5 t}])$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $12 + 5 e^{- 0.5 t}$ .

$500 (- {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [12 + 5 e^{- 0.5 t}])$

Langkah 3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $500$ .

$- 500 ({(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [12 + 5 e^{- 0.5 t}])$

Langkah 3.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $12 + 5 e^{- 0.5 t}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [12] + \frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}]$ .

$- 500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [12] + \frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}])$

Langkah 3.3.3

Karena $12$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $12$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$- 500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}])$

Langkah 3.3.4

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}]$ .

$- 500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}]$

Langkah 3.3.5

Karena $5$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $5 e^{- 0.5 t}$ terhadap $t$ adalah $5 \frac{d}{d t} [e^{- 0.5 t}]$ .

$- 500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (5 \frac{d}{d t} [e^{- 0.5 t}])$

Langkah 3.3.6

Kalikan $5$ dengan $- 500$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- 0.5 t}]$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = e^{t}$ dan $g (t) = - 0.5 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $- 0.5 t$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 0.5 t])$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 0.5 t])$

Langkah 3.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- 0.5 t$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{- 0.5 t} \frac{d}{d t} [- 0.5 t])$

Langkah 3.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Karena $- 0.5$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 0.5 t$ terhadap $t$ adalah $- 0.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{- 0.5 t} (- 0.5 \frac{d}{d t} [t]))$

Langkah 3.5.2

Kalikan $- 0.5$ dengan $- 2500$ .

$1250 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{- 0.5 t} (\frac{d}{d t} [t]))$

Langkah 3.5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1250 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{- 0.5 t} \cdot 1)$

Langkah 3.5.4

Kalikan $e^{- 0.5 t}$ dengan $1$ .

$1250 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} e^{- 0.5 t}$

Langkah 3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Susun kembali faktor-faktor dari $1250 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} e^{- 0.5 t}$ .

$1250 e^{- 0.5 t} {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2}$

Langkah 3.6.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1250 e^{- 0.5 t} \frac{1}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$

Langkah 3.6.3

Kalikan $1250 e^{- 0.5 t} \frac{1}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.1

Gabungkan $\frac{1}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$ dan $1250$ .

$\frac{1250}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}} e^{- 0.5 t}$

Langkah 3.6.3.2

Gabungkan $\frac{1250}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$ dan $e^{- 0.5 t}$ .

$\frac{1250 e^{- 0.5 t}}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$p' = \frac{1250 e^{- 0.5 t}}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$

Langkah 5

Ganti $p'$ dengan $\frac{d p}{d t}$ .

$\frac{d p}{d t} = \frac{1250 e^{- 0.5 t}}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$