Kalkulus Contoh

$5 \sqrt{x^{2} + 6}$

Langkah 1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$5 \int \sqrt{x^{2} + 6} d x$

Langkah 2

Biarkan $x = \sqrt{6} \tan (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \sec^{2} (t) \sqrt{6} d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t) \sqrt{6}$ positif.

$5 \int \sqrt{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Langkah 3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan $\sqrt{{(\sqrt{6} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{6}}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\sqrt{6} \tan (t)$ .

$5 \int \sqrt{{\sqrt{6}}^{2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Langkah 3.1.1.2

Tulis kembali ${\sqrt{6}}^{2}$ sebagai $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{6}$ sebagai $6^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int \sqrt{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Langkah 3.1.1.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \sqrt{6^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Langkah 3.1.1.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$5 \int \sqrt{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Langkah 3.1.1.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$5 \int \sqrt{6^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Langkah 3.1.1.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$5 \int \sqrt{6^{1} \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Langkah 3.1.1.2.5

Evaluasi eksponennya.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + {\sqrt{6}}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Langkah 3.1.1.3

Tulis kembali ${\sqrt{6}}^{2}$ sebagai $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{6}$ sebagai $6^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Langkah 3.1.1.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Langkah 3.1.1.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Langkah 3.1.1.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{\frac{2}{2}}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Langkah 3.1.1.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6^{1}} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Langkah 3.1.1.3.5

Evaluasi eksponennya.

$5 \int \sqrt{6 \tan^{2} (t) + 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $6$ dari $6 \tan^{2} (t) + 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Faktorkan $6$ dari $6 \tan^{2} (t)$ .

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t)) + 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Langkah 3.1.2.2

Faktorkan $6$ dari $6$ .

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Langkah 3.1.2.3

Faktorkan $6$ dari $6 (\tan^{2} (t)) + 6 (1)$ .

$5 \int \sqrt{6 (\tan^{2} (t) + 1)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Langkah 3.1.3

Terapkan identitas pythagoras.

$5 \int \sqrt{6 \sec^{2} (t)} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Langkah 3.1.4

Susun kembali $6$ dan $\sec^{2} (t)$ .

$5 \int \sqrt{\sec^{2} (t) \cdot 6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Langkah 3.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$5 \int \sec (t) \sqrt{6} (\sec^{2} (t) \sqrt{6}) d t$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$5 \int \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

Langkah 3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$5 \int {\sec (t)}^{2 + 1} \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$5 \int \sec^{3} (t) \sqrt{6} \sqrt{6} d t$

Langkah 3.2.4

Naikkan $\sqrt{6}$ menjadi pangkat $1$ .

$5 \int \sec^{3} (t) ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) d t$

Langkah 3.2.5

Naikkan $\sqrt{6}$ menjadi pangkat $1$ .

$5 \int \sec^{3} (t) ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) d t$

Langkah 3.2.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$5 \int \sec^{3} (t) {\sqrt{6}}^{1 + 1} d t$

Langkah 3.2.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$5 \int \sec^{3} (t) {\sqrt{6}}^{2} d t$

Langkah 3.2.8

Tulis kembali ${\sqrt{6}}^{2}$ sebagai $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{6}$ sebagai $6^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int \sec^{3} (t) {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} d t$

Langkah 3.2.8.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} d t$

Langkah 3.2.8.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}} d t$

Langkah 3.2.8.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.8.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{\frac{2}{2}} d t$

Langkah 3.2.8.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6^{1} d t$

Langkah 3.2.8.5

Evaluasi eksponennya.

$5 \int \sec^{3} (t) \cdot 6 d t$

Langkah 3.2.9

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $\sec^{3} (t)$ .

$5 \int 6 \sec^{3} (t) d t$

Langkah 4

Karena $6$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$5 (6 \int \sec^{3} (t) d t)$

Langkah 5

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $6$ dengan $5$ .

$30 \int \sec^{3} (t) d t$

Langkah 5.2

Faktorkan $\sec (t)$ dari $\sec^{3} (t)$ .

$30 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Langkah 6

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \sec (t)$ dan $d v = \sec^{2} (t)$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Langkah 7

Naikkan $\tan (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Langkah 8

Naikkan $\tan (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Langkah 9

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Langkah 10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Langkah 10.2

Susun kembali $\tan^{2} (t)$ dan $\sec (t)$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Langkah 11

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (t)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Langkah 12

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Tulis kembali eksponensiasinya sebagai hasil kali.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Langkah 12.2

Terapkan sifat distributif.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Langkah 12.3

Susun kembali $\sec (t)$ dan $- 1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Langkah 13

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Langkah 14

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Langkah 15

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Langkah 16

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Langkah 17

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Langkah 18

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Langkah 19

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Langkah 20

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$30 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Langkah 21

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$30 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Langkah 22

Integral dari $\sec (t)$ terhadap $t$ adalah $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Langkah 23

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 23.1

Terapkan sifat distributif.

$30 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Langkah 23.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$30 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Langkah 24

Ketika menyelesaikan $\int \sec^{3} (t) d t$ , kami menemukan bahwa $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$30 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Langkah 25

Kalikan $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ dengan $1$ .

$30 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Langkah 26

Sederhanakan.

$30 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Langkah 27

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.1

Gabungkan $30$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{30}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Langkah 27.2

Hapus faktor persekutuan dari $30$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.1

Faktorkan $2$ dari $30$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Langkah 27.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 15}{2 (1)} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Langkah 27.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Langkah 27.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{15}{1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Langkah 27.2.2.4

Bagilah $15$ dengan $1$ .

$15 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Langkah 28

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})$ .

$15 (\sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) + \tan (\arctan (\frac{x}{\sqrt{6}})) |)) + C$

Langkah 29

Susun kembali suku-suku.

$15 (\sec (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) \tan (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) + \tan (\arctan (\frac{1}{\sqrt{6}} x)) |)) + C$