Kalkulus Contoh

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - e^{x}}{{(y + x)}^{2}}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ adalah $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ di mana $f (y) = y e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ dan $g (y) = {(y + x)}^{2}$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} \frac{d}{d y} [y e^{x} + x e^{x} - e^{x}] - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{({(y + x)}^{2})}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan eksponen dalam ${({(y + x)}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} \frac{d}{d y} [y e^{x} + x e^{x} - e^{x}] - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{2 \cdot 2}}$

Langkah 2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} \frac{d}{d y} [y e^{x} + x e^{x} - e^{x}] - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (\frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Langkah 2.3

Karena $e^{x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y e^{x}$ terhadap $y$ adalah $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Langkah 2.5

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Langkah 2.6

Karena $x e^{x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x e^{x}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + 0 + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Langkah 2.7

Tambahkan $e^{x}$ dan $0$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Langkah 2.8

Karena $- e^{x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- e^{x}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + 0) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Langkah 2.9

Tambahkan $e^{x}$ dan $0$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = y^{2}$ dan $g (y) = y + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y + x$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (2 u \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y + x$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (2 (y + x) \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Langkah 4

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Langkah 4.2

Faktorkan $y + x$ dari ${(y + x)}^{2} e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Faktorkan $y + x$ dari ${(y + x)}^{2} e^{x}$ .

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x}) - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Langkah 4.2.2

Faktorkan $y + x$ dari $- 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])$ .

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x}) + (y + x) (- 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{{(y + x)}^{4}}$

Langkah 4.2.3

Faktorkan $y + x$ dari $(y + x) ((y + x) e^{x}) + (y + x) (- 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))$ .

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{{(y + x)}^{4}}$

Langkah 5

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Faktorkan $y + x$ dari ${(y + x)}^{4}$ .

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{(y + x) {(y + x)}^{3}}$

Langkah 5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{(y + x) {(y + x)}^{3}}$

Langkah 5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{3}}$

Langkah 6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x])}{{(y + x)}^{3}}$

Langkah 7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (1 + \frac{d}{d y} [x])}{{(y + x)}^{3}}$

Langkah 8

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (1 + 0)}{{(y + x)}^{3}}$

Langkah 9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \cdot 1}{{(y + x)}^{3}}$

Langkah 9.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x})}{{(y + x)}^{3}}$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x})}{{(y + x)}^{3}}$

Langkah 10.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - 2 (y e^{x}) - 2 (x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{{(y + x)}^{3}}$

Langkah 10.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - 2 y e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{{(y + x)}^{3}}$

Langkah 10.3.2

Kurangi $2 y e^{x}$ dengan $y e^{x}$ .

$\frac{- y e^{x} + x e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{{(y + x)}^{3}}$

Langkah 10.3.3

Kurangi $2 x e^{x}$ dengan $x e^{x}$ .

$\frac{- y e^{x} - x e^{x} + 2 e^{x}}{{(y + x)}^{3}}$

Langkah 10.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- e^{x} y - e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + y)}^{3}}$

Langkah 10.5

Faktorkan $e^{x}$ dari $- e^{x} y - e^{x} x + 2 e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Faktorkan $e^{x}$ dari $- e^{x} y$ .

$\frac{e^{x} (- y) - e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + y)}^{3}}$

Langkah 10.5.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $- e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- y) + e^{x} (- x) + 2 e^{x}}{{(x + y)}^{3}}$

Langkah 10.5.3

Faktorkan $e^{x}$ dari $2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (- y) + e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + y)}^{3}}$

Langkah 10.5.4

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} (- y) + e^{x} (- x)$ .

$\frac{e^{x} (- y - x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + y)}^{3}}$

Langkah 10.5.5

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} (- y - x) + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{x} (- y - x + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

Langkah 10.6

Faktorkan $- 1$ dari $- y$ .

$\frac{e^{x} (- (y) - x + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

Langkah 10.7

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{e^{x} (- (y) - (x) + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

Langkah 10.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (y) - (x)$ .

$\frac{e^{x} (- (y + x) + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

Langkah 10.9

Tulis kembali $2$ sebagai $- 1 (- 2)$ .

$\frac{e^{x} (- (y + x) - 1 (- 2))}{{(x + y)}^{3}}$

Langkah 10.10

Faktorkan $- 1$ dari $- (y + x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{e^{x} (- (y + x - 2))}{{(x + y)}^{3}}$

Langkah 10.11

Tulis kembali $- (y + x - 2)$ sebagai $- 1 (y + x - 2)$ .

$\frac{e^{x} (- 1 (y + x - 2))}{{(x + y)}^{3}}$

Langkah 10.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{e^{x} (y + x - 2)}{{(x + y)}^{3}}$