Kalkulus Contoh

$(4 x^{3} - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) - \sqrt[5]{6 - 5 x}) d x$

Langkah 1

Hilangkan tanda kurung.

$\int 4 x^{3} - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 4 x^{3} d x + \int - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) d x + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Langkah 3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int x^{3} d x + \int - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) d x + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) d x + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Langkah 5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) d x + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Langkah 6

Biarkan $u_{1} = 2 x + 3$ . Kemudian $d u_{1} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u_{1} = 2 x + 3$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Langkah 6.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 6.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 6.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 6.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 6.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 6.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Langkah 7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\csc (u_{1})$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{\csc (u_{1})}{2} \cot (u_{1}) d u_{1} + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Langkah 7.3

Gabungkan $\frac{\csc (u_{1})}{2}$ dan $\cot (u_{1})$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{\csc (u_{1}) \cot (u_{1})}{2} d u_{1} + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (\frac{1}{2} \int \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) d u_{1}) + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Langkah 9

Karena turunan dari $- \csc (u_{1})$ adalah $\csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ , maka integral dari $\csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ adalah $- \csc (u_{1})$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \int - \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Langkah 10

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - \int \sqrt[5]{6 - 5 x} d x$

Langkah 11

Biarkan $u_{2} = 6 - 5 x$ . Kemudian $d u_{2} = - 5 d x$ sehingga $- \frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Biarkan $u_{2} = 6 - 5 x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Diferensialkan $6 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 - 5 x]$

Langkah 11.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 - 5 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Langkah 11.1.2.2

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Langkah 11.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.3.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 11.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Langkah 11.1.3.3

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$0 - 5$

Langkah 11.1.4

Kurangi $5$ dengan $0$ .

$- 5$

Langkah 11.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - \int \sqrt[5]{u_{2}} \frac{1}{- 5} d u_{2}$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - \int \sqrt[5]{u_{2}} (- \frac{1}{5}) d u_{2}$

Langkah 12.2

Gabungkan $\sqrt[5]{u_{2}}$ dan $\frac{1}{5}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - \int - \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Langkah 13

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) - - \int \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Langkah 14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + 1 \int \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Langkah 14.2

Kalikan $\int \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$ dengan $1$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \int \frac{\sqrt[5]{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Langkah 15

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} \int \sqrt[5]{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 16

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[5]{u_{2}}$ sebagai ${u_{2}}^{\frac{1}{5}}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} \int {u_{2}}^{\frac{1}{5}} d u_{2}$

Langkah 17

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{\frac{1}{5}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{5}{6} {u_{2}}^{\frac{6}{5}}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} (- \csc (u_{1}) + C) + \frac{1}{5} (\frac{5}{6} {u_{2}}^{\frac{6}{5}} + C)$

Langkah 18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Sederhanakan.

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{1}{5} (\frac{5}{6} {u_{2}}^{\frac{6}{5}}) + C$

Langkah 18.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1

Gabungkan $\frac{5}{6}$ dan ${u_{2}}^{\frac{6}{5}}$ .

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{1}{5} \cdot \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{6} + C$

Langkah 18.2.2

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $\frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{6}$ .

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{5 \cdot 6} + C$

Langkah 18.2.3

Kalikan $5$ dengan $6$ .

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{30} + C$

Langkah 18.2.4

Faktorkan $5$ dari $5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}$ .

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 ({u_{2}}^{\frac{6}{5}})}{30} + C$

Langkah 18.2.5

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.5.1

Faktorkan $5$ dari $30$ .

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{5 \cdot 6} + C$

Langkah 18.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{5 {u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{5 \cdot 6} + C$

Langkah 18.2.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{4} + \frac{\csc (u_{1})}{2} + \frac{{u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{6} + C$

Langkah 19

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x + 3$ .

$x^{4} + \frac{\csc (2 x + 3)}{2} + \frac{{u_{2}}^{\frac{6}{5}}}{6} + C$

Langkah 19.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $6 - 5 x$ .

$x^{4} + \frac{\csc (2 x + 3)}{2} + \frac{{(6 - 5 x)}^{\frac{6}{5}}}{6} + C$

Langkah 20

Susun kembali suku-suku.

$x^{4} + \frac{1}{2} \csc (2 x + 3) + \frac{1}{6} {(6 - 5 x)}^{\frac{6}{5}} + C$