Kalkulus Contoh

$\arctan (\frac{x + y}{1 - x y})$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = \arctan (y)$ dan $g (y) = \frac{x + y}{1 - x y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x + y}{1 - x y}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\arctan (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x + y}{1 - x y}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \frac{d}{d y} [\frac{x + y}{1 - x y}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ adalah $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ di mana $f (y) = x + y$ dan $g (y) = 1 - x y$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \frac{d}{d y} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Langkah 3.2

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) (0 + \frac{d}{d y} [y]) - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Langkah 3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \frac{d}{d y} [y] - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{(1 - x y) \cdot 1 - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Langkah 3.5

Kalikan $1 - x y$ dengan $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) \frac{d}{d y} [1 - x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Langkah 3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Langkah 3.7

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [- x y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Langkah 3.8

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [- x y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) \frac{d}{d y} [- x y]}{{(1 - x y)}^{2}}$

Langkah 3.9

Karena $- x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- x y$ terhadap $y$ adalah $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y - (x + y) (- x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Langkah 3.10

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + 1 (x + y) (x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Langkah 3.10.2

Kalikan $x + y$ dengan $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + (x + y) (x \frac{d}{d y} [y])}{{(1 - x y)}^{2}}$

Langkah 3.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + (x + y) x \cdot 1}{{(1 - x y)}^{2}}$

Langkah 3.12

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.1

Kalikan $x + y$ dengan $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}} \cdot \frac{1 - x y + x \cdot (x + y)}{{(1 - x y)}^{2}}$

Langkah 3.12.2

Kalikan $\frac{1}{1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}}$ dengan $\frac{1 - x y + x (x + y)}{{(1 - x y)}^{2}}$ .

$\frac{1 - x y + x (x + y)}{(1 + {(\frac{x + y}{1 - x y})}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x + y}{1 - x y}$ .

$\frac{1 - x y + x (x + y)}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Langkah 4.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 - x y + x \cdot x + x y}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Langkah 4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Gabungkan suku balikan dalam $1 - x y + x \cdot x + x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Tambahkan $- x y$ dan $x y$ .

$\frac{1 + x \cdot x + 0}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Langkah 4.3.1.2

Tambahkan $1 + x \cdot x$ dan $0$ .

$\frac{1 + x \cdot x}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Langkah 4.3.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{1 + x^{2}}{(1 + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Langkah 4.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1 + x^{2}}{(\frac{{(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}} + \frac{{(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}) {(1 - x y)}^{2}}$

Langkah 4.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}} {(1 - x y)}^{2}}$

Langkah 4.4.3

Gabungkan $\frac{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}$ dan ${(1 - x y)}^{2}$ .

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{({(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}}$

Langkah 4.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari ${(1 - x y)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 + x^{2}}{\frac{({(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}) {(1 - x y)}^{2}}{{(1 - x y)}^{2}}}$

Langkah 4.4.4.2

Bagilah ${(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Langkah 4.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{x^{2} + 1}{{(1 - x y)}^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Langkah 4.6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Tulis kembali ${(1 - x y)}^{2}$ sebagai $(1 - x y) (1 - x y)$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(1 - x y) (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

Langkah 4.6.2

Perluas $(1 - x y) (1 - x y)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} + 1}{1 (1 - x y) - x y (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

Langkah 4.6.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} + 1}{1 \cdot 1 + 1 (- x y) - x y (1 - x y) + {(x + y)}^{2}}$

Langkah 4.6.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} + 1}{1 \cdot 1 + 1 (- x y) - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Langkah 4.6.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.3.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 + 1 (- x y) - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Langkah 4.6.3.1.2

Kalikan $- x y$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y \cdot 1 - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Langkah 4.6.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x y (- x y) + {(x + y)}^{2}}$

Langkah 4.6.3.1.4

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.3.1.4.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - (x \cdot x) y (- 1 y) + {(x + y)}^{2}}$

Langkah 4.6.3.1.4.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} y (- 1 y) + {(x + y)}^{2}}$

Langkah 4.6.3.1.5

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.3.1.5.1

Pindahkan $y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} (y \cdot y) \cdot - 1 + {(x + y)}^{2}}$

Langkah 4.6.3.1.5.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y - x^{2} y^{2} \cdot - 1 + {(x + y)}^{2}}$

Langkah 4.6.3.1.6

Kalikan $- x^{2} y^{2} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.3.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y + 1 x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Langkah 4.6.3.1.6.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - x y - x y + x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Langkah 4.6.3.2

Kurangi $x y$ dengan $- x y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + {(x + y)}^{2}}$

Langkah 4.6.4

Tulis kembali ${(x + y)}^{2}$ sebagai $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + (x + y) (x + y)}$

Langkah 4.6.5

Perluas $(x + y) (x + y)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x (x + y) + y (x + y)}$

Langkah 4.6.5.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x \cdot x + x y + y (x + y)}$

Langkah 4.6.5.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y}$

Langkah 4.6.6

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.6.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + y x + y \cdot y}$

Langkah 4.6.6.1.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + y x + y^{2}}$

Langkah 4.6.6.2

Tambahkan $x y$ dan $y x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.6.2.1

Susun kembali $y$ dan $x$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + x y + x y + y^{2}}$

Langkah 4.6.6.2.2

Tambahkan $x y$ dan $x y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 - 2 x y + x^{2} y^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$

Langkah 4.6.7

Tambahkan $- 2 x y$ dan $2 x y$ .

$\frac{x^{2} + 1}{1 + x^{2} y^{2} + x^{2} + 0 + y^{2}}$

Langkah 4.6.8

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} y^{2} + x^{2} + 1 + y^{2}}$

Langkah 4.6.9

Tulis kembali $x^{2} y^{2} + x^{2} + 1 + y^{2}$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.9.1

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.9.1.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\frac{x^{2} + 1}{(x^{2} y^{2} + x^{2}) + 1 + y^{2}}$

Langkah 4.6.9.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} (y^{2} + 1) + 1 (y^{2} + 1)}$

Langkah 4.6.9.2

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $y^{2} + 1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

Langkah 4.7

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} + 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)}$

Langkah 4.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2} + 1}$