Kalkulus Contoh

$y = \ln (\arctan (5 x^{2}))$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \arctan (5 x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\arctan (5 x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{2})]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{2})]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\arctan (5 x^{2})$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{2})]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = 5 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $5 x^{2}$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Langkah 2.2

Turunan dari $\arctan (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $5 x^{2}$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + {(5 x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $5$ dari $5 x^{2}$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + {(5 (x^{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Langkah 3.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $5 (x^{2})$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 5^{2} {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Langkah 3.2.1.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 25 {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Langkah 3.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 25 x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Langkah 3.2.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{\arctan (5 x^{2})} (\frac{1}{1 + 25 x^{4}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Langkah 3.2.2

Kalikan $\frac{1}{1 + 25 x^{4}}$ dengan $\frac{1}{\arctan (5 x^{2})}$ .

$\frac{1}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

Langkah 3.3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 3.4

Gabungkan $5$ dan $\frac{1}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$ .

$\frac{5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} (2 x)$

Langkah 3.6

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} x$

Langkah 3.6.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$\frac{10}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})} x$

Langkah 3.6.3

Gabungkan $\frac{10}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$ dan $x$ .

$\frac{10 x}{(1 + 25 x^{4}) \arctan (5 x^{2})}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{10 x}{1 \arctan (5 x^{2}) + 25 x^{4} \arctan (5 x^{2})}$

Langkah 4.2

Kalikan $\arctan (5 x^{2})$ dengan $1$ .

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) + 25 x^{4} \arctan (5 x^{2})}$

Langkah 4.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{10 x}{25 x^{4} \arctan (5 x^{2}) + \arctan (5 x^{2})}$

Langkah 4.4

Faktorkan $\arctan (5 x^{2})$ dari $25 x^{4} \arctan (5 x^{2}) + \arctan (5 x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Faktorkan $\arctan (5 x^{2})$ dari $25 x^{4} \arctan (5 x^{2})$ .

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4}) + \arctan (5 x^{2})}$

Langkah 4.4.2

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4}) + \arctan (5 x^{2}) \cdot 1}$

Langkah 4.4.3

Faktorkan $\arctan (5 x^{2})$ dari $\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4}) + \arctan (5 x^{2}) \cdot 1$ .

$\frac{10 x}{\arctan (5 x^{2}) (25 x^{4} + 1)}$