Kalkulus Contoh

$y = \frac{\cos (π x)}{\sin (π x) + \cos (π x)}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = \cos (π x)$ dan $g (x) = \sin (π x) + \cos (π x)$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) \frac{d}{d x} [\cos (π x)] - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = π x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $π x$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 2.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $π x$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π x$ terhadap $x$ adalah $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) (π \cdot 1)) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 3.3

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) \frac{d}{d x} [\sin (π x) + \cos (π x)]}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 3.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (π x) + \cos (π x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)]$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\frac{d}{d x} [\sin (π x)] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = π x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $π x$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 4.2

Turunan dari $\sin (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\cos (u_{2})$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $π x$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π x$ terhadap $x$ adalah $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) (π \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 5.3

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π + \frac{d}{d x} [\cos (π x)])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = π x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{3}$ sebagai $π x$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π + \frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [π x])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 6.2

Turunan dari $\cos (u_{3})$ terhadap $u_{3}$ adalah $- \sin (u_{3})$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [π x])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 6.3

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $π x$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x])}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 7

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $π$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $π x$ terhadap $x$ adalah $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x]))}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) (π \cdot 1))}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 7.3

Kalikan $π$ dengan $1$ .

$\frac{(\sin (π x) + \cos (π x)) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\sin (π x) (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π - \sin (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 8.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\sin (π x) (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π) - \cos (π x) (- \sin (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Gabungkan suku balikan dalam $\sin (π x) (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π) - \cos (π x) (- \sin (π x) π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Kurangi $\cos (π x) (- \sin (π x) π)$ dengan $\cos (π x) (- \sin (π x) π)$ .

$\frac{\sin (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π) + 0}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 8.3.1.2

Tambahkan $\sin (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π)$ dan $0$ .

$\frac{\sin (π x) (- \sin (π x) π) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{- π \sin (π x) \sin (π x) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 8.3.2.2

Kalikan $- π \sin (π x) \sin (π x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.1

Naikkan $\sin (π x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- π (\sin^{1} (π x) \sin (π x)) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 8.3.2.2.2

Naikkan $\sin (π x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- π (\sin^{1} (π x) \sin^{1} (π x)) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 8.3.2.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- π {\sin (π x)}^{1 + 1} - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 8.3.2.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - \cos (π x) (\cos (π x) π)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 8.3.2.3

Kalikan $- \cos (π x) (\cos (π x) π)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.3.1

Naikkan $\cos (π x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - (\cos^{1} (π x) \cos (π x)) π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 8.3.2.3.2

Naikkan $\cos (π x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - (\cos^{1} (π x) \cos^{1} (π x)) π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 8.3.2.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - {\cos (π x)}^{1 + 1} π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 8.3.2.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - \cos^{2} (π x) π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 8.3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $- π \sin^{2} (π x) - \cos^{2} (π x) π$ .

$\frac{- π \sin^{2} (π x) - π \cos^{2} (π x)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 8.4

Faktorkan $- π$ dari $- π \sin^{2} (π x)$ .

$\frac{- π (\sin^{2} (π x)) - π \cos^{2} (π x)}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 8.5

Faktorkan $- π$ dari $- π \cos^{2} (π x)$ .

$\frac{- π (\sin^{2} (π x)) - π (\cos^{2} (π x))}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 8.6

Faktorkan $- π$ dari $- π (\sin^{2} (π x)) - π (\cos^{2} (π x))$ .

$\frac{- π (\sin^{2} (π x) + \cos^{2} (π x))}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 8.7

Terapkan identitas pythagoras.

$\frac{- π \cdot 1}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 8.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{- π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$

Langkah 8.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{π}{{(\sin (π x) + \cos (π x))}^{2}}$