Kalkulus Contoh

$y = \ln ({(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}})$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai ${(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan ${(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{7}{5}}$ dan $g (x) = 2 x^{7} + 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x^{7} + 5 x$ .

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{7}{5}}] \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{7}{5}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{7}{5} {u_{2}}^{\frac{7}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x^{7} + 5 x$ .

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{7}{5} {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

Langkah 3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{7}{5} {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

Langkah 4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{7}{5} {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

Langkah 5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{7}{5} {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

Langkah 6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{7}{5} {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

Langkah 6.2

Kurangi $5$ dengan $7$ .

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{7}{5} {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{2}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

Langkah 7

Gabungkan $\frac{7}{5}$ dan ${(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{7 {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{2}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

Langkah 8

Kalikan $\frac{7 {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{2}{5}}}{5}$ dengan $\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}}$ .

$\frac{7 {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{2}{5}}}{5 {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x]$

Langkah 9

Pindahkan ${(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{7}{5 {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}} {(2 x^{7} + 5 x)}^{- \frac{2}{5}}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x]$

Langkah 10

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan ${(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}$ dengan ${(2 x^{7} + 5 x)}^{- \frac{2}{5}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Pindahkan ${(2 x^{7} + 5 x)}^{- \frac{2}{5}}$ .

$\frac{7}{5 ({(2 x^{7} + 5 x)}^{- \frac{2}{5}} {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}})} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x]$

Langkah 10.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{7}{5 {(2 x^{7} + 5 x)}^{- \frac{2}{5} + \frac{7}{5}}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x]$

Langkah 10.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{7}{5 {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{- 2 + 7}{5}}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x]$

Langkah 10.1.4

Tambahkan $- 2$ dan $7$ .

$\frac{7}{5 {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{5}{5}}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x]$

Langkah 10.1.5

Bagilah $5$ dengan $5$ .

$\frac{7}{5 {(2 x^{7} + 5 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x]$

Langkah 10.2

Sederhanakan $5 {(2 x^{7} + 5 x)}^{1}$ .

$\frac{7}{5 (2 x^{7} + 5 x)} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x]$

Langkah 11

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{7} + 5 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{7}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{7}{5 (2 x^{7} + 5 x)} (\frac{d}{d x} [2 x^{7}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Langkah 12

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{7}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{7}{5 (2 x^{7} + 5 x)} (2 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Langkah 13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 7$ .

$\frac{7}{5 (2 x^{7} + 5 x)} (2 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [5 x])$

Langkah 14

Kalikan $7$ dengan $2$ .

$\frac{7}{5 (2 x^{7} + 5 x)} (14 x^{6} + \frac{d}{d x} [5 x])$

Langkah 15

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7}{5 (2 x^{7} + 5 x)} (14 x^{6} + 5 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 16

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{7}{5 (2 x^{7} + 5 x)} (14 x^{6} + 5 \cdot 1)$

Langkah 17

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\frac{7}{5 (2 x^{7} + 5 x)} (14 x^{6} + 5)$

Langkah 18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{7}{5 (2 x^{7}) + 5 (5 x)} (14 x^{6} + 5)$

Langkah 18.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.2.1

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$\frac{7}{10 x^{7} + 5 (5 x)} (14 x^{6} + 5)$

Langkah 18.2.2

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$\frac{7}{10 x^{7} + 25 x} (14 x^{6} + 5)$

Langkah 18.3

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{7}{10 x^{7} + 25 x} (14 x^{6} + 5)$ .

$(14 x^{6} + 5) \frac{7}{10 x^{7} + 25 x}$

Langkah 18.4

Faktorkan $5 x$ dari $10 x^{7} + 25 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.4.1

Faktorkan $5 x$ dari $10 x^{7}$ .

$(14 x^{6} + 5) \frac{7}{5 x (2 x^{6}) + 25 x}$

Langkah 18.4.2

Faktorkan $5 x$ dari $25 x$ .

$(14 x^{6} + 5) \frac{7}{5 x (2 x^{6}) + 5 x (5)}$

Langkah 18.4.3

Faktorkan $5 x$ dari $5 x (2 x^{6}) + 5 x (5)$ .

$(14 x^{6} + 5) \frac{7}{5 x (2 x^{6} + 5)}$

Langkah 18.5

Kalikan $14 x^{6} + 5$ dengan $\frac{7}{5 x (2 x^{6} + 5)}$ .

$\frac{(14 x^{6} + 5) \cdot 7}{5 x (2 x^{6} + 5)}$

Langkah 18.6

Pindahkan $7$ ke sebelah kiri $14 x^{6} + 5$ .

$\frac{7 (14 x^{6} + 5)}{5 x (2 x^{6} + 5)}$