Kalkulus Contoh

$y = e^{x \sqrt{9 x - 11}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{9 x - 11}$ sebagai ${(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [{(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}] + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 9 x - 11$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $9 x - 11$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 x - 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x - 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $9 x - 11$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x - 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x - 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 6

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x - 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(9 x - 11)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x - 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(9 x - 11)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x - 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 8.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(9 x - 11)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x - 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 9

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(9 x - 11)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x - 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 9.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(9 x - 11)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{{(9 x - 11)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 x - 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 9.3

Pindahkan ${(9 x - 11)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x - 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 9.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x - 11] + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 10

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 x - 11$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 11

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 13

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (9 + \frac{d}{d x} [- 11]) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 14

Karena $- 11$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 11$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (9 + 0) + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 15

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Tambahkan $9$ dan $0$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 9 + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 15.2

Gabungkan $\frac{x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $9$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 9}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 15.3

Pindahkan $9$ ke sebelah kiri $x$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{9 \cdot x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 16

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{9 x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Langkah 17

Kalikan ${(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{9 x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 18

Untuk menuliskan ${(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{9 x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 19

Gabungkan ${(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{9 x}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 20

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{9 x + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} (2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 21

Kalikan ${(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1

Pindahkan ${(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{9 x + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 21.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{9 x + {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 21.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{9 x + {(9 x - 11)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 21.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{9 x + {(9 x - 11)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 21.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{9 x + {(9 x - 11)}^{1} \cdot 2}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Sederhanakan ${(9 x - 11)}^{1} \cdot 2$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{9 x + (9 x - 11) \cdot 2}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $9 x - 11$ .

$e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \frac{9 x + 2 \cdot (9 x - 11)}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 23

Gabungkan $e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $\frac{9 x + 2 (9 x - 11)}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (9 x + 2 (9 x - 11))}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (9 x + 2 (9 x) + 2 \cdot - 11)}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.2.1.1

Kalikan $9$ dengan $2$ .

$\frac{e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (9 x + 18 x + 2 \cdot - 11)}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 11$ .

$\frac{e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (9 x + 18 x - 22)}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24.2.2

Tambahkan $9 x$ dan $18 x$ .

$\frac{e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (27 x - 22)}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (27 x) + e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 22}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24.2.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{27 e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} x + e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 22}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24.2.5

Pindahkan $- 22$ ke sebelah kiri $e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{27 e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} x - 22 \cdot e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24.2.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $27 e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} x - 22 e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{27 x e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} - 22 e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{27 e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} x - 22 e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24.4

Faktorkan $e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ dari $27 e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} x - 22 e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 24.4.1

Pindahkan $e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{27 x e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} - 22 e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24.4.2

Faktorkan $e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ dari $27 x e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (27 x) - 22 e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24.4.3

Faktorkan $e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ dari $- 22 e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (27 x) + e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 22}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24.4.4

Faktorkan $e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$ dari $e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (27 x) + e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 22$ .

$\frac{e^{x {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}} (27 x - 22)}{2 {(9 x - 11)}^{\frac{1}{2}}}$