Kalkulus Contoh

$y = \frac{\sin (3 x)}{\tan (x)}$

Langkah 1

Tulis kembali $\tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (3 x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]$

Langkah 2

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (3 x) \cos (x)}{\sin (x)}]$

Langkah 3

Konversikan dari $\frac{\sin (3 x) \cos (x)}{\sin (x)}$ ke $\sin (3 x) \cot (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \cot (x)]$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \sin (3 x)$ dan $g (x) = \cot (x)$ .

$\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Langkah 5

Turunan dari $\cot (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc^{2} (x)$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Langkah 6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Langkah 6.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Langkah 6.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Langkah 7

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) (3 \cdot 1)$

Langkah 7.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (3 x) \cdot 3$

Langkah 7.3.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\cot (x) \cos (3 x)$ .

$\sin (3 x) (- \csc^{2} (x)) + 3 \cdot (\cot (x) \cos (3 x))$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Susun kembali suku-suku.

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Langkah 8.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Tulis kembali $\csc (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$- {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Langkah 8.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Langkah 8.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Langkah 8.2.4

Gabungkan $\sin (3 x)$ dan $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + 3 \cos (3 x) \cot (x)$

Langkah 8.2.5

Tulis kembali $\cot (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + 3 \cos (3 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Langkah 8.2.6

Kalikan $3 \cos (3 x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.6.1

Gabungkan $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ dan $3$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)} \cos (3 x)$

Langkah 8.2.6.2

Gabungkan $\frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)}$ dan $\cos (3 x)$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3 \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Langkah 8.2.7

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\cos (x)$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Langkah 8.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Faktorkan $\sin (x)$ dari $\sin^{2} (x)$ .

$- \frac{\sin (3 x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.2

Pisahkan pecahan.

$- (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\sin (x)}) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.3

Tulis kembali $\frac{\sin (3 x)}{\sin (x)}$ sebagai hasil kali.

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.4

Tulis $\sin (3 x)$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\frac{\sin (3 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.5.1

Bagilah $\sin (3 x)$ dengan $1$ .

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \frac{1}{\sin (x)})) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.5.2

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (x)}$ ke $\csc (x)$ .

$- (\frac{1}{\sin (x)} (\sin (3 x) \csc (x))) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.6

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (x)}$ ke $\csc (x)$ .

$- (\csc (x) (\sin (3 x) \csc (x))) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.7

Kalikan $\csc (x) (\sin (3 x) \csc (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.7.1

Naikkan $\csc (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- (\csc^{1} (x) \csc (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.7.2

Naikkan $\csc (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$- (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.7.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- ({\csc (x)}^{1 + 1} \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.7.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- (\csc^{2} (x) \sin (3 x)) + \frac{3 \cos (x) \cos (3 x)}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.8

Pisahkan pecahan.

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + \frac{3 \cos (3 x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Langkah 8.3.9

Konversikan dari $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ ke $\cot (x)$ .

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + \frac{3 \cos (3 x)}{1} \cot (x)$

Langkah 8.3.10

Bagilah $3 \cos (3 x)$ dengan $1$ .

$- \csc^{2} (x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \cot (x)$