Kalkulus Contoh

$y = \sqrt{\frac{x - 3}{x^{6} + 2}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{\frac{x - 3}{x^{6} + 2}}$ sebagai ${(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = \frac{x - 3}{x^{6} + 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x - 3}{x^{6} + 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x - 3}{x^{6} + 2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Langkah 3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Langkah 4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Langkah 5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Langkah 6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Langkah 6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Langkah 7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 3}{x^{6} + 2}]$

Langkah 8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x - 3$ dan $g (x) = x^{6} + 2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Langkah 9

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Langkah 9.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Langkah 9.3

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Langkah 9.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x^{6} + 2) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Langkah 9.4.2

Kalikan $x^{6} + 2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{6} + 2]}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Langkah 9.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{6} + 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Langkah 9.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 6$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) (6 x^{5} + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Langkah 9.7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) (6 x^{5} + 0)}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Langkah 9.8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.8.1

Tambahkan $6 x^{5}$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - (x - 3) (6 x^{5})}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Langkah 9.8.2

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$

Langkah 9.8.3

Kalikan $\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{{(x^{6} + 2)}^{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{{(x^{6} + 2)}^{2} \cdot 2} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 9.8.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(x^{6} + 2)}^{2}$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{2 \cdot {(x^{6} + 2)}^{2}} {(\frac{x - 3}{x^{6} + 2})}^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Mengubah tanda eksponen dengan menulis kembali bilangan pokok sebagai kebalikannya.

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} {(\frac{x^{6} + 2}{x - 3})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 10.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x^{6} + 2}{x - 3}$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x - 3) x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{6} + 2 + (- 6 x - 6 \cdot - 3) x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{6} + 2 - 6 x \cdot x^{5} - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Kalikan $x$ dengan $x^{5}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1.1

Pindahkan $x^{5}$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x^{5} x) - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.5.1.2

Kalikan $x^{5}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 (x^{5} x^{1}) - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.5.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{6} + 2 - 6 x^{5 + 1} - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.5.1.3

Tambahkan $5$ dan $1$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 x^{6} - 6 \cdot - 3 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.5.2

Kalikan $- 6$ dengan $- 3$ .

$\frac{x^{6} + 2 - 6 x^{6} + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.5.3

Kurangi $6 x^{6}$ dengan $x^{6}$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.5.4

Kalikan $\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2}}$ dengan $\frac{{(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}) {(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.5.5

Pindahkan ${(x^{6} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}} {(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}$

Langkah 10.5.6

Kalikan ${(x^{6} + 2)}^{2}$ dengan ${(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.6.1

Pindahkan ${(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 ({(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2}} {(x^{6} + 2)}^{2}) {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.5.6.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.5.6.3

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.5.6.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.5.6.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.5.6.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.6.6.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.5.6.6.2

Tambahkan $- 1$ dan $4$ .

$\frac{- 5 x^{6} + 2 + 18 x^{5}}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- 5 x^{6} + 18 x^{5} + 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 5 x^{6}$ .

$\frac{- (5 x^{6}) + 18 x^{5} + 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.8

Faktorkan $- 1$ dari $18 x^{5}$ .

$\frac{- (5 x^{6}) - (- 18 x^{5}) + 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.9

Faktorkan $- 1$ dari $- (5 x^{6}) - (- 18 x^{5})$ .

$\frac{- (5 x^{6} - 18 x^{5}) + 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.10

Tulis kembali $2$ sebagai $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (5 x^{6} - 18 x^{5}) - 1 (- 2)}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.11

Faktorkan $- 1$ dari $- (5 x^{6} - 18 x^{5}) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (5 x^{6} - 18 x^{5} - 2)}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.12

Tulis kembali $- (5 x^{6} - 18 x^{5} - 2)$ sebagai $- 1 (5 x^{6} - 18 x^{5} - 2)$ .

$\frac{- 1 (5 x^{6} - 18 x^{5} - 2)}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 10.13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{5 x^{6} - 18 x^{5} - 2}{2 {(x^{6} + 2)}^{\frac{3}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$