Kalkulus Contoh

$y = \arctan (\sqrt{5 x})$

Langkah 1

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5 x}$ sebagai ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(5 x)}^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 1.2

Faktorkan $5$ dari $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(5 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 1.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $5 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.2

Turunan dari $\arctan (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $5^{\frac{1}{2}}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Langkah 3.2

Gabungkan $5^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{1}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Langkah 7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Langkah 8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 10

Kalikan $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ dengan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{(1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}) \cdot 2}$

Langkah 11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Langkah 11.2

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 (1 + {(5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 (1 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{(2 \cdot 1 + 2 ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})) x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}} + 2 ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 ({(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.4.2

Kalikan eksponen dalam ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.4.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.4.3

Evaluasi eksponennya.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.4.4

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.4.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.4.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 x^{1}) x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.4.5

Sederhanakan.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (5 x) x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.4.6

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.4.7

Kalikan $x$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.7.1

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

Langkah 12.4.7.2

Kalikan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.7.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

Langkah 12.4.7.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Langkah 12.4.7.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Langkah 12.4.7.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Langkah 12.4.7.5

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 12.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{10 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.6.1

Faktorkan $2 x^{\frac{1}{2}}$ dari $10 x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.6.1.1

Faktorkan $2 x^{\frac{1}{2}}$ dari $10 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{2}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 12.6.1.2

Faktorkan $2 x^{\frac{1}{2}}$ dari $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{2}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} (1)}$

Langkah 12.6.1.3

Faktorkan $2 x^{\frac{1}{2}}$ dari $2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{2}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} (1)$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{2}{2}} + 1)}$

Langkah 12.6.2

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x^{1} + 1)}$

Langkah 12.6.3

Sederhanakan.

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}} (5 x + 1)}$