Kalkulus Contoh

y = \frac{x sin (x)}{1 + cos (x)}

$y = \frac{x \sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana

f (x) = x sin (x)

$f (x) = x \sin (x)$ dan

g (x) = 1 + cos (x)

$g (x) = 1 + \cos (x)$ .

\frac{(1 + cos (x)) \frac{d}{d x} [x sin (x)] - x sin (x) \frac{d}{d x} [1 + cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)] - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana

f (x) = x

$f (x) = x$ dan

g (x) = sin (x)

$g (x) = \sin (x)$ .

\frac{(1 + cos (x)) (x \frac{d}{d x} [sin (x)] + sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x sin (x) \frac{d}{d x} [1 + cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3

Turunan dari

sin (x)

$\sin (x)$ terhadap

x

$x$ adalah

cos (x)

$\cos (x)$ .

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x sin (x) \frac{d}{d x} [1 + cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 1

$n = 1$ .

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x) \cdot 1) - x sin (x) \frac{d}{d x} [1 + cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 4.2

Kalikan

sin (x)

$\sin (x)$ dengan

1

$1$ .

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x)) - x sin (x) \frac{d}{d x} [1 + cos (x)]}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 4.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

1 + cos (x)

$1 + \cos (x)$ terhadap (Variabel1) adalah

\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [cos (x)]

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x)) - x sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [cos (x)])}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 4.4

Karena

1

$1$ konstan terhadap

x

$x$ , turunan dari

1

$1$ terhadap

x

$x$ adalah

0

$0$ .

\frac{(1 + cos (x)) (x cos (x) + sin (x)) - x sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [cos (x)])}{{(1 + cos (x))}^{2}}

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 4.5

Tambahkan

$0$ dan

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 5

Turunan dari

$\cos (x)$ terhadap

$x$ adalah

$- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 6

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$- 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + 1 x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 6.2

Kalikan

$x$ dengan

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 7

Naikkan

$\sin (x)$ menjadi pangkat

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 8

Naikkan

$\sin (x)$ menjadi pangkat

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9

Gunakan kaidah pangkat

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 10

Tambahkan

$1$ dan

$1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1.1

Perluas

$(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 (x \cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11.1.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11.1.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11.1.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1.2.1

Kalikan

$x \cos (x)$ dengan

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11.1.1.2.2

Kalikan

$\sin (x)$ dengan

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11.1.1.2.3

Kalikan

$\cos (x) (x \cos (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1.2.3.1

Naikkan

$\cos (x)$ menjadi pangkat

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11.1.1.2.3.2

Naikkan

$\cos (x)$ menjadi pangkat

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11.1.1.2.3.3

Gunakan kaidah pangkat

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11.1.1.2.3.4

Tambahkan

$1$ dan

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11.1.2

Pindahkan

$x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11.1.3

Faktorkan

$x$ dari

$x \cos^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11.1.4

Faktorkan

$x$ dari

$x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11.1.5

Faktorkan

$x$ dari

$x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11.1.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11.1.7

Terapkan identitas pythagoras.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11.1.8

Kalikan

$x$ dengan

$1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\frac{(x \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) + x + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11.3.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\frac{\cos (x) (x + \sin (x)) + 1 (x + \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11.3.2

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar,

$x + \sin (x)$ .

$\frac{(x + \sin (x)) (\cos (x) + 1)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11.4

Hapus faktor persekutuan dari

$\cos (x) + 1$ dan

${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{(x + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11.4.2

Faktorkan

$1 + \cos (x)$ dari

$(x + \sin (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.3.1

Faktorkan

$1 + \cos (x)$ dari

${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Langkah 11.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Langkah 11.4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x + \sin (x)}{1 + \cos (x)}$