Kalkulus Contoh

$y = \sqrt[8]{\frac{x + 2}{x + 3}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[8]{\frac{x + 2}{x + 3}}$ sebagai ${(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{8}}$ dan $g (x) = \frac{x + 2}{x + 3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x + 2}{x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{8}}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} u^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x + 2}{x + 3}$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Langkah 3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Langkah 4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Langkah 5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Langkah 6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{1 - 8}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Langkah 6.2

Kurangi $8$ dengan $1$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{\frac{- 7}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Langkah 7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{x + 3}]$

Langkah 8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x + 2$ dan $g (x) = x + 3$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 9

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 9.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 9.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 9.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{(x + 3) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 9.4.2

Kalikan $x + 3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 9.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 9.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 9.7

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 9.8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 9.8.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}} \frac{x + 3 - (x + 2)}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 9.8.3

Kalikan $\frac{x + 3 - (x + 2)}{{(x + 3)}^{2}}$ dengan $\frac{1}{8}$ .

$\frac{x + 3 - (x + 2)}{{(x + 3)}^{2} \cdot 8} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}}$

Langkah 9.8.4

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri ${(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{x + 3 - (x + 2)}{8 \cdot {(x + 3)}^{2}} {(\frac{x + 2}{x + 3})}^{- \frac{7}{8}}$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Mengubah tanda eksponen dengan menulis kembali bilangan pokok sebagai kebalikannya.

$\frac{x + 3 - (x + 2)}{8 {(x + 3)}^{2}} {(\frac{x + 3}{x + 2})}^{\frac{7}{8}}$

Langkah 10.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x + 3}{x + 2}$ .

$\frac{x + 3 - (x + 2)}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Langkah 10.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x + 3 - x - 1 \cdot 2}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Langkah 10.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{x + 3 - x - 2}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Langkah 10.4.2

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{0 + 3 - 2}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Langkah 10.4.3

Tambahkan $0$ dan $3$ .

$\frac{3 - 2}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Langkah 10.4.4

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Langkah 10.4.5

Kalikan $\frac{1}{8 {(x + 3)}^{2}}$ dengan $\frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{{(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$ .

$\frac{{(x + 3)}^{\frac{7}{8}}}{8 {(x + 3)}^{2} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Langkah 10.4.6

Pindahkan ${(x + 3)}^{\frac{7}{8}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{2} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}} {(x + 3)}^{- \frac{7}{8}}}$

Langkah 10.4.7

Kalikan ${(x + 3)}^{2}$ dengan ${(x + 3)}^{- \frac{7}{8}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.7.1

Pindahkan ${(x + 3)}^{- \frac{7}{8}}$ .

$\frac{1}{8 ({(x + 3)}^{- \frac{7}{8}} {(x + 3)}^{2}) {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Langkah 10.4.7.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{- \frac{7}{8} + 2} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Langkah 10.4.7.3

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{- \frac{7}{8} + 2 \cdot \frac{8}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Langkah 10.4.7.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{- \frac{7}{8} + \frac{2 \cdot 8}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Langkah 10.4.7.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{\frac{- 7 + 2 \cdot 8}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Langkah 10.4.7.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.7.6.1

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{\frac{- 7 + 16}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$

Langkah 10.4.7.6.2

Tambahkan $- 7$ dan $16$ .

$\frac{1}{8 {(x + 3)}^{\frac{9}{8}} {(x + 2)}^{\frac{7}{8}}}$