Kalkulus Contoh

$y = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 5}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ dan $g (x) = x^{2} + 5$ .

$\frac{(x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 2 x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 2.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 2.5

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 2.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 2.7

Tambahkan $2 x - 2$ dan $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5]}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 2.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 5$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 2.10

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 2.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 2.11.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - 2 (x^{2} - 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) + (- 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(x^{2} + 5) (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Perluas $(x^{2} + 5) (2 x - 2)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} (2 x - 2) + 5 (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x - 2) - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.2.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.2.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.2.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.2.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.2.3

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 \cdot x^{2} + 5 (2 x) + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.2.4

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x + 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.2.5

Kalikan $5$ dengan $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{2} x - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.3.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.3.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.3.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} - 2 (- 2 x) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.4

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.4.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} - 2 (- 2 (x \cdot x)) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.4.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} - 2 (- 2 x^{2}) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.5

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.1.6

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x^{3} - 2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Kurangi $2 x^{3}$ dengan $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 10 x - 10 + 0 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.2.2

Tambahkan $- 2 x^{2} + 10 x - 10$ dan $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 10 x - 10 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.3

Tambahkan $- 2 x^{2}$ dan $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 10 x - 10 - 2 x}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.3.4

Kurangi $2 x$ dengan $10 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 8 x - 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2} + 8 x - 10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 8 x - 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.2

Faktorkan $2$ dari $8 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (4 x) - 10}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.3

Faktorkan $2$ dari $- 10$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (4 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.4

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2} + 2 (4 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4 x) + 2 \cdot - 5}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.5

Faktorkan $2$ dari $2 (x^{2} + 4 x) + 2 \cdot - 5$ .

$\frac{2 (x^{2} + 4 x - 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $x^{2} + 4 x - 5$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 5$ dan jumlahnya $4$ .

$- 1, 5$

Langkah 3.4.2.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$\frac{2 ((x - 1) (x + 5))}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$

$\frac{2 (x - 1) (x + 5)}{{(x^{2} + 5)}^{2}}$