Kalkulus Contoh

$y = \frac{x^{3}}{1 - x^{2}}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{(1 - x^{2}) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $1 - x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.7

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + 1 x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.7.2

Kalikan $x^{3}$ dengan $1$ .

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{3} (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x \cdot x^{3} \cdot 2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{1} x^{3} \cdot 2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{1 + 3} \cdot 2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{4} \cdot 2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{4}$ .

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + 2 \cdot x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(3 \cdot 1 + 3 (- x^{2})) x^{2} + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 \cdot 1 x^{2} + 3 (- x^{2}) x^{2} + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x^{2}) x^{2} + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- (x^{2} x^{2})) + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x^{2 + 2}) + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x^{4}) + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 5.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x^{4} + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Tambahkan $- 3 x^{4}$ dan $2 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{2} - x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 5.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- x^{4} + 3 x^{2}}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 5.5

Faktorkan $x^{2}$ dari $- x^{4} + 3 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $- x^{4}$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2}) + 3 x^{2}}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 5.5.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2}) + x^{2} \cdot 3}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 5.5.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (- x^{2}) + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 5.6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2}}$

Langkah 5.6.2

Susun kembali $- x^{2}$ dan $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}}$

Langkah 5.6.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = x$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}$

Langkah 5.6.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Langkah 5.7

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (- (x^{2}) + 3)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Langkah 5.8

Tulis kembali $3$ sebagai $- 1 (- 3)$ .

$\frac{x^{2} (- (x^{2}) - 1 (- 3))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Langkah 5.9

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{x^{2} (- (x^{2} - 3))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Langkah 5.10

Tulis kembali $- (x^{2} - 3)$ sebagai $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$\frac{x^{2} (- 1 (x^{2} - 3))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Langkah 5.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x^{2} (x^{2} - 3)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$