Kalkulus Contoh

$y = \frac{2 x \sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Langkah 1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2 x \sin (x)}{1 + \cos (x)}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{x \sin (x)}{1 + \cos (x)}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x \sin (x)}{1 + \cos (x)}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x \sin (x)$ dan $g (x) = 1 + \cos (x)$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)] - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 4

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 5.2

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \cos (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 5.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 5.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 6

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 7

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + 1 x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 7.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 8

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 9

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 10

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 11

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 \frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 12

Gabungkan $2$ dan $\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{2 ((1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 ((1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 13.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.1

Perluas $(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (1 (x \cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x))) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 13.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x))) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 13.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 13.2.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.2.1

Kalikan $x \cos (x)$ dengan $1$ .

$\frac{2 (x \cos (x) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 13.2.1.2.2

Kalikan $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\frac{2 (x \cos (x) + \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 13.2.1.2.3

Kalikan $\cos (x) (x \cos (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.2.3.1

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 13.2.1.2.3.2

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 13.2.1.2.3.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 (x \cos (x) + \sin (x) + x {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 13.2.1.2.3.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2 (x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 13.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x) + 2 (x \cos^{2} (x)) + 2 (\cos (x) \sin (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 13.2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1.4.1

Susun kembali $2 \cos (x)$ dan $\sin (x)$ .

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x \cos^{2} (x) + \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 13.2.1.4.2

Susun kembali $\sin (x)$ dan $2$ .

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x \cos^{2} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 13.2.1.4.3

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x \cos^{2} (x) + \sin (2 x) + 2 (x \sin^{2} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x \cos^{2} (x) + \sin (2 x) + 2 x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 13.2.2

Pindahkan $2 x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x \cos^{2} (x) + 2 x \sin^{2} (x) + \sin (2 x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 13.2.3

Faktorkan $2 x$ dari $2 x \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x (\cos^{2} (x)) + 2 x \sin^{2} (x) + \sin (2 x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 13.2.4

Faktorkan $2 x$ dari $2 x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x (\cos^{2} (x)) + 2 x (\sin^{2} (x)) + \sin (2 x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 13.2.5

Faktorkan $2 x$ dari $2 x (\cos^{2} (x)) + 2 x (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + \sin (2 x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 13.2.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + \sin (2 x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 13.2.7

Terapkan identitas pythagoras.

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x \cdot 1 + \sin (2 x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 13.2.8

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 x + \sin (2 x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Langkah 13.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{2 x \cos (x) + 2 x + 2 \sin (x) + \sin (2 x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$