Kalkulus Contoh

$y = \frac{5 x - 2}{x^{2} + 1}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 5 x - 2$ dan $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [5 x - 2] - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x - 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.4

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (5 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.5

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (5 + 0) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tambahkan $5$ dan $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 5 - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.2

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $x^{2} + 1$ .

$\frac{5 \cdot (x^{2} + 1) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{5 (x^{2} + 1) - (5 x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{5 (x^{2} + 1) - (5 x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.9

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{5 (x^{2} + 1) - (5 x - 2) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{5 (x^{2} + 1) - (5 x - 2) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.10.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{5 (x^{2} + 1) - 2 (5 x - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{5 x^{2} + 5 \cdot 1 - 2 (5 x - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{5 x^{2} + 5 \cdot 1 + (- 2 (5 x) - 2 \cdot - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{5 x^{2} + 5 \cdot 1 - 2 (5 x) x - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 - 2 (5 x) x - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 - 2 (5 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 - 2 (5 x^{2}) - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.3

Kalikan $5$ dengan $- 2$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 - 10 x^{2} - 2 \cdot - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 - 10 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.2

Kurangi $10 x^{2}$ dengan $5 x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 5 + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- 5 x^{2} + 4 x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 5 x^{2}$ .

$\frac{- (5 x^{2}) + 4 x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.7

Faktorkan $- 1$ dari $4 x$ .

$\frac{- (5 x^{2}) - (- 4 x) + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (5 x^{2}) - (- 4 x)$ .

$\frac{- (5 x^{2} - 4 x) + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.9

Tulis kembali $5$ sebagai $- 1 (- 5)$ .

$\frac{- (5 x^{2} - 4 x) - 1 (- 5)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.10

Faktorkan $- 1$ dari $- (5 x^{2} - 4 x) - 1 (- 5)$ .

$\frac{- (5 x^{2} - 4 x - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.11

Tulis kembali $- (5 x^{2} - 4 x - 5)$ sebagai $- 1 (5 x^{2} - 4 x - 5)$ .

$\frac{- 1 (5 x^{2} - 4 x - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{5 x^{2} - 4 x - 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$