Kalkulus Contoh

$y = {\sin (x)}^{3 x}$

Langkah 1

Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan differensiasinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${\sin (x)}^{3 x}$ sebagai $e^{\ln ({\sin (x)}^{3 x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (x)}^{3 x})}]$

Langkah 1.2

Perluas $\ln ({\sin (x)}^{3 x})$ dengan memindahkan $3 x$ ke luar logaritma.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x \ln (\sin (x))}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 3 x \ln (\sin (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $3 x \ln (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x \ln (\sin (x))]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x \ln (\sin (x))]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $3 x \ln (\sin (x))$ .

$e^{3 x \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [3 x \ln (\sin (x))]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x \ln (\sin (x))$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))]$ .

$e^{3 x \ln (\sin (x))} (3 \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))])$

Langkah 3.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{3 x \ln (\sin (x))}$ .

$3 \cdot e^{3 x \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))]$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $\sin (x)$ .

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5.2

Turunan dari $\ln (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{u_{2}}$ .

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\sin (x)$ .

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 6

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (x)}$ ke $\csc (x)$ .

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 7

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \cdot 1)$

Langkah 8.2

Kalikan $\ln (\sin (x))$ dengan $1$ .

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)))$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Terapkan sifat distributif.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x))) + 3 e^{3 x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

Langkah 9.2

Hilangkan tanda kurung.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} x \csc (x) \cos (x) + 3 e^{3 x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

Langkah 9.3

Susun kembali suku-suku.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} x \cos (x) \csc (x) + 3 e^{3 x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$