Kalkulus Contoh

$y = \log_{2} ({(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}})$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \log_{2} (x)$ dan $g (x) = {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{2} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\log_{2} (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1} \ln (2)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (2)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ dan $g (x) = 2 x^{2} - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x^{2} - x$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {u_{2}}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x^{2} - x$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Langkah 3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Langkah 4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Langkah 5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Langkah 6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Langkah 6.2

Kurangi $2$ dengan $5$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Langkah 7

Gabungkan $\frac{5}{2}$ dan ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

Langkah 8

Kalikan $\frac{5 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ dengan $\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)}$ .

$\frac{5 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}}{2 ({(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2))} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Langkah 9

Pindahkan ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2) {(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Langkah 10

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ dengan ${(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Pindahkan ${(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{5}{2 ({(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}) \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Langkah 10.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2} + \frac{5}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Langkah 10.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{- 3 + 5}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Langkah 10.1.4

Tambahkan $- 3$ dan $5$ .

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{2}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Langkah 10.1.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{1} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Langkah 10.2

Sederhanakan $2 {(2 x^{2} - x)}^{1} \ln (2)$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

Langkah 11

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{2} - x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 12

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 14

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 15

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x - \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 16

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x - 1 \cdot 1)$

Langkah 17

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x - 1)$

Langkah 18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{5}{(2 (2 x^{2}) + 2 (- x)) \ln (2)} (4 x - 1)$

Langkah 18.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{5}{2 (2 x^{2}) \ln (2) + 2 (- x) \ln (2)} (4 x - 1)$

Langkah 18.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{5}{4 x^{2} \ln (2) + 2 (- x) \ln (2)} (4 x - 1)$

Langkah 18.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{5}{4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)} (4 x - 1)$

Langkah 18.4

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{5}{4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)} (4 x - 1)$ .

$(4 x - 1) \frac{5}{4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)}$

Langkah 18.5

Faktorkan $2 x \ln (2)$ dari $4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.5.1

Faktorkan $2 x \ln (2)$ dari $4 x^{2} \ln (2)$ .

$(4 x - 1) \frac{5}{2 x \ln (2) (2 x) - 2 x \ln (2)}$

Langkah 18.5.2

Faktorkan $2 x \ln (2)$ dari $- 2 x \ln (2)$ .

$(4 x - 1) \frac{5}{2 x \ln (2) (2 x) + 2 x \ln (2) (- 1)}$

Langkah 18.5.3

Faktorkan $2 x \ln (2)$ dari $2 x \ln (2) (2 x) + 2 x \ln (2) (- 1)$ .

$(4 x - 1) \frac{5}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$

Langkah 18.6

Kalikan $4 x - 1$ dengan $\frac{5}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$ .

$\frac{(4 x - 1) \cdot 5}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$

Langkah 18.7

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $4 x - 1$ .

$\frac{5 (4 x - 1)}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$