Kalkulus Contoh

$y = {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{3}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = \frac{x - 4}{3 - x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x - 4}{3 - x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{3 - x^{2}}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{3 - x^{2}}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x - 4}{3 - x^{2}}$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{3 - x^{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x - 4$ dan $g (x) = 3 - x^{2}$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.3

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{(3 - x^{2}) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.4.2

Kalikan $3 - x^{2}$ dengan $1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 - x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.6

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.7

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} - (x - 4) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} + 1 (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.9.2

Kalikan $x - 4$ dengan $1$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} + (x - 4) (2 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.11

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x - 4$ .

$3 {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2} \frac{3 - x^{2} + 2 \cdot (x - 4) x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 3.11.2

Gabungkan $\frac{3 - x^{2} + 2 (x - 4) x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ dan $3$ .

$\frac{(3 - x^{2} + 2 (x - 4) x) \cdot 3}{{(3 - x^{2})}^{2}} {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2}$

Langkah 3.11.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $3 - x^{2} + 2 (x - 4) x$ .

$\frac{3 \cdot (3 - x^{2} + 2 (x - 4) x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} {(\frac{x - 4}{3 - x^{2}})}^{2}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x - 4}{3 - x^{2}}$ .

$\frac{3 (3 - x^{2} + 2 (x - 4) x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 4.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 (3 - x^{2} + (2 x + 2 \cdot - 4) x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 4.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 (3 - x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 4.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x \cdot x) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 4.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{9 + 3 (- x^{2}) + 3 (2 x \cdot x) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 4.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 x \cdot x) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 4.5.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 (x^{1} x)) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 4.5.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 (x^{1} x^{1})) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 4.5.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 x^{1 + 1}) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 4.5.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{9 - 3 x^{2} + 3 (2 x^{2}) + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 4.5.7

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{9 - 3 x^{2} + 6 x^{2} + 3 (2 \cdot - 4 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 4.5.8

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$\frac{9 - 3 x^{2} + 6 x^{2} + 3 (- 8 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 4.5.9

Kalikan $- 8$ dengan $3$ .

$\frac{9 - 3 x^{2} + 6 x^{2} - 24 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 4.5.10

Tambahkan $- 3 x^{2}$ dan $6 x^{2}$ .

$\frac{9 + 3 x^{2} - 24 x}{{(3 - x^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 4.5.11

Kalikan $\frac{9 + 3 x^{2} - 24 x}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ dengan $\frac{{(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{(9 + 3 x^{2} - 24 x) {(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2} {(3 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 4.5.12

Kalikan ${(3 - x^{2})}^{2}$ dengan ${(3 - x^{2})}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.12.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{(9 + 3 x^{2} - 24 x) {(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{2 + 2}}$

Langkah 4.5.12.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{(9 + 3 x^{2} - 24 x) {(x - 4)}^{2}}{{(3 - x^{2})}^{4}}$

Langkah 4.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{{(x - 4)}^{2} (9 + 3 x^{2} - 24 x)}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

Langkah 4.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Faktorkan $3$ dari $9 + 3 x^{2} - 24 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2} (3 \cdot 3 + 3 x^{2} - 24 x)}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

Langkah 4.7.1.2

Faktorkan $3$ dari $- 24 x$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2} (3 \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 (- 8 x))}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

Langkah 4.7.1.3

Faktorkan $3$ dari $3 \cdot 3 + 3 x^{2}$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2} (3 \cdot (3 + x^{2}) + 3 (- 8 x))}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

Langkah 4.7.1.4

Faktorkan $3$ dari $3 \cdot (3 + x^{2}) + 3 (- 8 x)$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2} (3 (3 + x^{2} - 8 x))}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

Langkah 4.7.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{{(x - 4)}^{2} \cdot 3 (x^{2} - 8 x + 3)}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$

Langkah 4.8

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri ${(x - 4)}^{2}$ .

$\frac{3 {(x - 4)}^{2} (x^{2} - 8 x + 3)}{{(- x^{2} + 3)}^{4}}$